2014年東大理系数学（第4問）入試問題の解答（答案例）・解説（不等式の証明、漸化式の極限、中間値の定理）
目次
２０１４年理系第４問の解説
２０１４年の最後の問題の解説です。
今日もやっていきましょう。
解かずに分析：（１）不等式の証明の方針立て
では、いつも通り、解かずに分析をしていきましょう。
まず（１）ですが、大きな問題の種別としては「不等式の証明」です。
ということは、立てる式としては（左辺）－（右辺）が定石。
（もしくは（大きい方）－（小さいほう）でも良いです。）
ということで、ｆ（ｘ）－０と、１－ｆ（ｘ）を考えます。
また、「０＜ｘ＜１の範囲で成立する事を示せ」という指示ですが、これは言い換えると「０＜ｘ＜１の範囲で、常に」ということ。
常に成立する不等式を証明する問題は、一見不等式に見えて、実は最大値と最小値の問題。
（クラスの最低点のヤツが赤点でなければ、クラス全員赤点ではない、というのと同じ）
また最大値と最小値の問題では、原則としてグラフを描くのが定石。
ということで、ｆ（ｘ）－０のグラフと、１－ｆ（ｘ）のグラフを描けば証明できそうだな、となります。
（でも、やってみると分かりますが、この方法では挫折します。あくまで、問題の初見の時に、どう考えるかという提案です。）
この挫折する方針の部分も、手書きの解答に書いているので、どうぞご覧くださいませ。
不等式の変形
では、どのように方針転換するか。
相加相乗なんかの、特殊な不等式でもないしなぁ。グラフでも出来ないし・・・。
と散々色々考えた挙げ句、まさかと思ってやった方針が正解。
不等式を、下限と上限ではさむ方法です。
もちろんメジャーな方法なので、いきなり思いつく方もいると思いますが、あまり初手から取り組む事は少ない方法です。
というか、解ける時にはアッサリ解けすぎて、あまり手ごたえがない。
やはり微分して、グラフを描いて・・・の方が、「解いている感」がありますからね。
ということで、下限に見積もり、上限に見積もり・・・と試行錯誤している様子も、わざと手書きの解答に書いていますので、どうぞ参考に。
解かずに分析：（２）漸化式の極限値を求める
（２）はｆ（ｘ）を使って漸化式が与えられ、その極限を求める問題です。
漸化式の極限を求める時に持っていく方針と言えば、このタイプの問題です。
（プラチカ数Ⅲより）
普通はこの問題のように小問に分かれてて、不等式を作る方法も、もう少し丁寧な誘導があるのですが、東大に入りたければこれくらい解けというメッセージなのでしょうか。
解答を作る方針としてはアルアルですので、迷わず行きたい所です。
ちなみに、解答はこう
解かずに分析：（３）中間値の定理
最後（３）ですが、まずは、ｃ＝ｆ（ｃ）を見て反応出来るかどうか。
これは、ｆ（ｘ）－ｘを新たな関数、例えばｇ（ｘ）とおいて、ｇ（ｘ）＝０を示すのが定番です。
つまり、ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ となります。
また、０＜ｃ＜１を満たすということで、まず最初に中間値の定理を連想しましょう。
ここで、ｇ（０）とｇ（１）の符号が逆になってくれれば、問題終了何ですが、そうは問屋が卸さない。
ｇ（０）＝０になってしまいますから、ｇ（ｘ）のグラフを描かなければなりません。（というか、増減表）
そこでｇ（ｘ）を微分してみるのですが、まだ符号が見えない。
ということで、ｇ（ｘ）の２回微分を考えると、やっと符号が決まりました。
あとは、元の関数へ戻っていくと完成。
なんと（３）が最も普通の問題でしたね（笑）
ということで、手書きの解答の残りを。
（１）が解けなくても、（２）を解いて良い！！
さて、最後に大事なことを言って終わりましょう。
タイトル通り、（１）が解けなくても、（２）を解いて良いです。
（１）が解けなくて、（２）と（３）を捨てて次の大問に行く方が多いですが、非常にもったいない！！！
この問題は、（１）が解けなくても（２）に影響ないですし、（２）が解けなくても（３）に影響がない。
珍しいですが、それぞれ独立した問題でした。
また、前の問題が次の問題の誘導になっているような場合でも、別に解いて構いません。
（１）の証明が出来てなくても、出来た前提で（２）を解いても良いでしょう。
このブログでは、問題文に全て目を通して、最後の方まで解かずに分析してから、最後に手を動かすことをオススメしています。
しかし、最後まで解かず、（１）だけ読んですぐに手を動かすクセがあると、（２）や（３）を解こうという発想がなくなるでしょう。
不等式の変形の仕方もさることながら、問題を解く戦術に関しても勉強になる良問でした。
もう、入試も明後日に迫りましたが、まだまだ「１分も勉強しなくても、点数が上がる方法」があります。
一生懸命頑張るだけでなく、頭を使った受験勉強をして下さい。
それでは。
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