2014年 東大数学 理系第3問の解説(解を持つ条件、文字の消去、積分、面積計算)

 

2014年理系第3問の解説

2014年の問題も、残すところあと2問。
今日もやっていきましょう。
 
 

解かずに分析

いつも通り、解かずに分析を。
まず(1)は、へなちょこ。
共有点を持つuの範囲なんて、連立して判別式で終わりです。
これはサービス問題とも言えますが、それより(2)や(3)でaとbの値を定義しなおすのが面倒なために、わざわざ設けた問題とも言えなくもないですね。
 
(2)も別に難しくないです。
(1)で連立した式がありますし、その解をx1とx2と置いて、y座標を求めて代入。
あとは頑張ってuだけを残しつつ、代入していけばOKな問題です。
これも、点数をもらってさっさと次に。
 
そして(3)。
(1)の結果が積分区間で、(2)の結果をインテグラルの中に突っ込んで積分しろという問題です。
言ってることは簡単ですが、さすがに(1)と(2)を解かないと、これ以上の情報は分からないでしょうか。
しかし、積分の問題って、インテグラルを作るまでで難しくて、作った後はただの計算問題だったりするので、もしかしたら単なる計算問題かもしれませんね。
 
というようなことを考えつつ、(1)に手を付けてみましょう。
 

(1)やっぱり、ただの判別式

さっき予想したように、とりあえず手を付けてみます。
C1とC2を連立して、判別式をとると、xの2次式が出て来たぞ。
判別式を取って、uの範囲が出てきて、あら出来ちゃった。
 
ということで、難しいところが何もなく終わってしまいました。
「こんなんで良いの?」と疑うレベルで簡単ですが、こういう簡単な問題も出ると言うのを知っておくと、本番で動揺しないでしょう。
 

(2)C1に代入するか、C2に代入するか

では、続いて(2)へ。
C1とC2の共有点のx座標がx1とx2ですから、さっき作った連立式の解がx1とx2だということ。
ここで大きく2つの方針が立てられます。
 
1つ目は、C1にx1とx2を代入する方針。2つ目は、C2にx1とx2を代入する方法。
y1とy2の値は、どちらでも得られますが、どちらが良いでしょう。
普通は、見た目から簡単そうなC1を選ぶでしょうね。それでOK。
ちなみに、C2を選んでも、全く同じ結論が得られるので大丈夫です。
 
後で貼り付ける手書きの解答では、両方載せておきましたので確認して下さい。(方針1と方針2)
 

(2)解の公式か、解と係数の関係か

 
さて、次にx1やx2をuに変換しなければなりません。
そこで、また2つの方針が登場します。
 
1つ目の方針は、解の公式で解いてしまうというもの。
分数や√が出てきて計算が面倒。見た目も美しくないので、普通は避けるように指導されるでしょう。
 
2つ目の方針は、解と係数の関係で済ませると言うモノ。
これは言い換えれば、解の公式で直接求めるのを避けるということでもあります。
僕は個人的に、こちらが好きなんですが、皆さんはどちらが良いと思いますか?
 
これも、どちらを選んでも正解!
多少の計算の面倒さに差はありますが、大差なし。
後で載せる手書きの解答には、両方載せておきました(方針Aと方針B)
 

(3)ただの計算だった!!

そして、最後の(3)。
(1)よりaとbの値は分かってますし、(2)よしf(u)の正体も分かってます。
なので、そのままインテグラルを作ってしまうと、やっぱりただの計算問題の用です。
 
積分計算は、インテグラルの中身によって、方針が変わります。
部分積分を使うのか、置換積分を使うのか、などなど、一つ一つパターンを覚えておかないと判断できません。
 
今回は、√の中にuの2次式がありますが、uの1次の項も存在します。
こういう場合は平方完成するのがセオリー。
平方完成すると、uをsinθで置換するタイプのカタチが見えます。
 
また、置換後はインテグラルの上下の絶対値が同じなので、奇関数と偶関数を調べると計算が楽。
あとは、sinやcosの半角の公式で次数を下げて、積分を実行して下さい。
 
ということで、手書きの解答です。
 
 
 
最後の計算は、面倒臭いですね。
計算力に自信がない場合、あまり深追いせず、適当な所で切り上げて他の問題に行った方が良いかもしれません。
というのも、計算が面倒な問題は、時間がかかるわりに、取れる得点が少ないし、もしかしたら計算ミスをして0点になるかもしれません。
他に解ける問題がなくなったら仕方ないですが。
 
ということで、今日はこの辺りで。
なるべく早いタイミングで、残りの理系第4問もアップします。

 

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