2014年東大理系数学（第3問）入試問題の解答（答案例）・解説（解を持つ条件、文字の消去、積分、面積計算）
２０１４年理系第３問の解説
２０１４年の問題も、残すところあと２問。
今日もやっていきましょう。
解かずに分析
いつも通り、解かずに分析を。
まず（１）は、へなちょこ。
共有点を持つｕの範囲なんて、連立して判別式で終わりです。
これはサービス問題とも言えますが、それより（２）や（３）でａとｂの値を定義しなおすのが面倒なために、わざわざ設けた問題とも言えなくもないですね。
（２）も別に難しくないです。
（１）で連立した式がありますし、その解をｘ１とｘ２と置いて、ｙ座標を求めて代入。
あとは頑張ってｕだけを残しつつ、代入していけばＯＫな問題です。
これも、点数をもらってさっさと次に。
そして（３）。
（１）の結果が積分区間で、（２）の結果をインテグラルの中に突っ込んで積分しろという問題です。
言ってることは簡単ですが、さすがに（１）と（２）を解かないと、これ以上の情報は分からないでしょうか。
しかし、積分の問題って、インテグラルを作るまでで難しくて、作った後はただの計算問題だったりするので、もしかしたら単なる計算問題かもしれませんね。
というようなことを考えつつ、（１）に手を付けてみましょう。
（１）やっぱり、ただの判別式
さっき予想したように、とりあえず手を付けてみます。
Ｃ１とＣ２を連立して、判別式をとると、ｘの２次式が出て来たぞ。
判別式を取って、ｕの範囲が出てきて、あら出来ちゃった。
ということで、難しいところが何もなく終わってしまいました。
「こんなんで良いの？」と疑うレベルで簡単ですが、こういう簡単な問題も出ると言うのを知っておくと、本番で動揺しないでしょう。
（２）Ｃ１に代入するか、Ｃ２に代入するか
では、続いて（２）へ。
Ｃ１とＣ２の共有点のｘ座標がｘ１とｘ２ですから、さっき作った連立式の解がｘ１とｘ２だということ。
ここで大きく２つの方針が立てられます。
１つ目は、Ｃ１にｘ１とｘ２を代入する方針。２つ目は、Ｃ２にｘ１とｘ２を代入する方法。
ｙ１とｙ２の値は、どちらでも得られますが、どちらが良いでしょう。
普通は、見た目から簡単そうなＣ１を選ぶでしょうね。それでＯＫ。
ちなみに、Ｃ２を選んでも、全く同じ結論が得られるので大丈夫です。
後で貼り付ける手書きの解答では、両方載せておきましたので確認して下さい。（方針１と方針２）
（２）解の公式か、解と係数の関係か
さて、次にｘ１やｘ２をｕに変換しなければなりません。
そこで、また２つの方針が登場します。
１つ目の方針は、解の公式で解いてしまうというもの。
分数や√が出てきて計算が面倒。見た目も美しくないので、普通は避けるように指導されるでしょう。
２つ目の方針は、解と係数の関係で済ませると言うモノ。
これは言い換えれば、解の公式で直接求めるのを避けるということでもあります。
僕は個人的に、こちらが好きなんですが、皆さんはどちらが良いと思いますか？
これも、どちらを選んでも正解！
多少の計算の面倒さに差はありますが、大差なし。
後で載せる手書きの解答には、両方載せておきました（方針Ａと方針Ｂ）
（３）ただの計算だった！！
そして、最後の（３）。
（１）よりａとｂの値は分かってますし、（２）よしｆ（ｕ）の正体も分かってます。
なので、そのままインテグラルを作ってしまうと、やっぱりただの計算問題の用です。
積分計算は、インテグラルの中身によって、方針が変わります。
部分積分を使うのか、置換積分を使うのか、などなど、一つ一つパターンを覚えておかないと判断できません。
今回は、√の中にｕの２次式がありますが、ｕの１次の項も存在します。
こういう場合は平方完成するのがセオリー。
平方完成すると、ｕをｓｉｎθで置換するタイプのカタチが見えます。
また、置換後はインテグラルの上下の絶対値が同じなので、奇関数と偶関数を調べると計算が楽。
あとは、ｓｉｎやｃｏｓの半角の公式で次数を下げて、積分を実行して下さい。
ということで、手書きの解答です。
最後の計算は、面倒臭いですね。
計算力に自信がない場合、あまり深追いせず、適当な所で切り上げて他の問題に行った方が良いかもしれません。
というのも、計算が面倒な問題は、時間がかかるわりに、取れる得点が少ないし、もしかしたら計算ミスをして０点になるかもしれません。
他に解ける問題がなくなったら仕方ないですが。
ということで、今日はこの辺りで。
なるべく早いタイミングで、残りの理系第４問もアップします。
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