2014年 東大文系数学第1問の解説 最大最小はワンパターン

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2014年 東大文系数学第1問の解説

東大入試まで1ヶ月を切りました。
久しぶりになりましたが、これからは、なるべく東大の過去問の解説を優先的に描いていこうと思います。
現在は、2015~2017年の解説を書き揃えていますので、どうぞ「東大入試数学を解説するシリーズ」からご覧ください。

最大最小問題は“ワンパターン”

では、早速解説を始めていきましょう。
今回は2014年の第1問です。
問題はこちら。
うーむ、近年まれに見る簡単さですね。
(1)も(2)も、最大・最小問題です。そして、色々パターンがあるように見えて、最大・最小問題は実は本当にワンパターン。
最大・最小問題は、大きく分けて
①グラフを描く
②特殊な不等式を利用
しかありません。

グラフの書き方

①グラフを描くについて詳しく書くと、
見るべきポイントは、関数の種類です。
1次関数なら、傾きとy切片(や、通る2点)などを調べて引きます。
中2で習った知識で解けますが、数Ⅱの図形と方程式で完成します 。
2次関数なら、平方完成して、頂点の座標と、二次の係数(a)を調べれば書けます。
x軸との交点2つを求めるパターンなどもありますが、それほど難しくない。
3次以上の関数なら、微分して形を決めます。
元の関数が3次なら、微分した2次関数の判別式が
(判別式)>0⇔極値を持つ形
(判別式)=0⇔一瞬だけ傾きが0になる単調増加
(判別式)<0⇔ずっと右上がりの単調増加
となります。
この他に、三角関数や指数関数、対数関数なら、振幅、周期、x軸方向の移動、y軸の移動、漸近線などを調べて書きます。
要するに、各単元のグラフの書き方を復習すれば良いということです。

特殊不等式とは?

しかし、中にはグラフが描けない問題も登場します。
グラフが描けないというのは、例えば分数が登場する関数になったり、xとyが登場する(2文字登場する)場合です。
そういう場合、「特殊不等式」を利用します。
一番有名なのが「相加平均と相乗平均の関係」。正の数2つに対して、絶対に成立する不等式です。
他にも、「コーシーシュワルツの不等式」や「実数条件」、絶対値の不等式や三角不等式など、色々登場します。
このうち東大受験で登場するのは、「相加相乗平均」と「実数条件」くらいなものかと思いますが、一応全て復習しておいてくださいね。

全体の方針

(1)の問題は、「f(x)の最大値を求めよ」とありますから、与えられた式をxの関数と見なすということです。
(f(y)なら、yの関数と見なすということ。)
与式のxの次数を見ると2次になってますから、平方完成して頂点のy座標を見る問題になります。
ということで、平方完成すれば(1)が終わりです。
(2)は、「(1)のf(x)の最大値をg(x)とする」とあります。
これは、あまり深いことを考えず、その通り定義すれば良いということです。(1)の答えをg(x)とおきましょう。
そして、t≧-1/√2の範囲で動くとき、g(t)の最小値を求めよということで、今度はtの関数と見て最大最小問題を見るということです。
セオリーに従うと、g(t)がtの3次関数になってますから、これも(1)と大きな路線は同じでグラフを描く問題です。
但し、違う所もあります。
まず、(1)2次関数でしたが、(2)は3次関数。つまり、微分と増減表を用いる問題だという点です。
そして、もう一つが、t≧-1/√2とtの定義域が限定されていることです。
(1)はxの定義域が全ての実数の場合の最大最小でしたから、単純に頂点のy座標を見れば良い問題でした。しかし、(2)はtの定義域が「全ての実数」ではなく、t≧-1/√2と限定されていますから、極値を持つかどうかに加えて、その極値が定義域に含まれるかどうかを調べます。
この2つが違うところですが、大きな視点から言えば、ほとんど大差ないでしょう。
では、手書きの解答です。

大小比較は不等式の証明

最後に、どちらが小さいかの、大小比較があります。
大小比較というのは、原則として「不等式の証明」(数Ⅱ)の技法を用いて行うものです。
不等式の証明のセオリーは、(左辺)-(右辺)ですね。
今回は左辺も右辺もありませんので、適当にどっちかから、もう片方を引いて下さい。
今回は問題の設定で、微妙な差で比較する問題ではありませんでした。
√2を2と近似するという、かなり荒っぽい近似でも大小が比較出来てしまいます。
と言う事で、難しいところがほとんどない問題。
これは、解けなければ落ちるレベル。注意です。

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