2014年 東大文系数学第2問 理系第2問の解説 確率漸化式

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2014年 東大文系数学第2問の解説

お待ちかね、東大過去問解説のコーナーです。
東大入試では、数学の重要度が非常に高いですから、最後に数学の解法を頭の中に整理して臨むのがおすすめです。
なるべくたくさんアップしていきますので、どうぞお楽しみに。
では、今日は2014年東大文系数学の第2問です。
この年は、文理共通問題でして、理系では最後にこの問題が追加されます。
理系ならお馴染み。
その直前で求めたPnの一般項に対して、シグマを取るだけの問題です。ようするに正しく計算するだけの問題。(2)まで求められれば「もらい」ですね。

東大の個数の処理の問題傾向

問題の設定が珍しいですね。
操作(ⅰ)では、白玉を取り出したら、過去どんな状況であろうと、白玉a個、赤玉1個にリセットされます。
ということは、白玉を取り出し続けたら、永遠に何も状況が変わらず進むということですね。
操作(ⅱ)では、赤玉を取り出したら、その玉が袋から消滅するだけです。
さて、東大の確率についての基礎知識ですが、いくつか傾向があります。
・場合の数は(ほとんど)出ない。確率ばかり出る。
・知らない設定の問題が出やすい。
・漸化式や数列と絡みやすい。
・第1問には登場しない。
4つ目のは、どうでも良いことかもしれませんけどね(笑)
でも、パット見で答えが分かるような問題は出ず、ほとんどが知らない設定の問題で登場します。
だから、問題文を熟読し、立式に慎重にならなければなりません。3回読み直しても良いくらいでしょう。
それに比べると、今回の問題は設定がシンプル。東大ならばもっと複雑でもおかしくないですね。

問1 場合分けして、計算

p1とp2を求めよということですが、これはもうお馴染み。
丁寧に問題の設定を読み込み、場合分けをして計算するだけです。
それほど難しくないでしょう。

問2 確率漸化式

問2はPnを求めよということで、これももうお馴染み。
確率が数列のようにあらわされていて、一般項を求めよと言われたら、まず「確率漸化式」を疑うのが定石。東大入試では、よくあります。
確率漸化式では、「遷移図」を書くのがオススメです。
遷移図というのは、こういう図のこと。
n回目と、n+1回目の時で、どのような確率の推移をしているかを図にしたものです。
この時、立て方が2通りあります。
図の赤い線で立てる場合と、青い線で立てる場合です。
今回は、青い線で立てる方が、線が1本だけで済むので簡単なのですが、別に赤い線で立てても構いません(結果が同じになります)
これを立てたら、数列でよく見る漸化式の問題(が、分数の文字式になり面倒になったもの)になります。
特性方程式を解いて、いつも通り計算すれば、完了です。

(3)も計算だけ

理系のみですが、(3)が残ってます。
しかし、先ほど言った通り計算するだけ。
その計算も、等比数列の和の計算が登場するだけ。よく見ると不定形も登場せずストレートに和も極限も計算出来ます。
では手書きの解答です。
これは、文系にしても理系にしても簡単めな問題でしょうね。
20点を取れるのも大切ですが、いかに短時間で解けるかまで狙う問題かもしれません。
確率漸化式は、東大入試では超頻出ですから、必ず解けるようにしておいてくださいね。

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