２０１８年夏 河合東大オープン 理系第５問
やっと更新！
これからもなるべく書いていきますので、気長にお待ちくださいませ。
では、早速問題を見ていきましょう！
目次
東大ではまず必ず出る、整数問題。（文系も）
東大模試でももちろん出ます。
でも、問題分からヒントがたくさん。まずは解く前でも読み取れる情報を取っていきましょう。
【解く前に情報を読み取ろう！】
どの問題でも絶対やらなきゃいけないのですが、この問題はキレイにハマるのでわざわざコーナーを作りました。
まずはテーマ。
整数の約数の個数に関するものですが、約数の個数に関して知っていることと言えば、これでしょう！
今回のＮに関してもバッチリ使える。ということでこれを使って考えるのがセオリーでしょう。
そしてもう１点。
（３）まで問題を通して読むと気づきやすいのですが、しっかりと誘導になっています。
（１）の分母を払うと、（２）や（３）と同じ形になっているのです。
このくらいの軽い変形をしながら誘導ポイントを探していくのが、非常におススメ。
（１）では４未満を証明し、（２）では２ではないと証明。すると（３）のｋは必然的に３に決定します。
これで（３）がかなり解きやすくなるのですが、意外と気付かないもの。
（１）に集中して取り組み、（２）に集中して取り組み・・・と、最後まで通読せず、１問ずつに注目しすぎながら解くクセがある人は、いつまで経っても誘導問題が得意になりませんよ。
まず問題文を最後まで通読し、読み取れる情報をすべて読み取ったら１問ずつに集中するのです。
【（１）不等式の絞り込み】
では、各設問ごとに行きましょう。
まず、先ほどの約数の個数の公式を使い、Ｓ（Ｎ）を求めます。
そしてＮで割って計算すると、なんとなく積が４になりそうな因数が出てきますね。
ここで、各因数を出来るだけ厳密な不等式で絞り込めは終了。（１）は簡単です。
さて、整数問題では主に大きく２つの方針があると言われます。
①積＝整数の形を作る
②不等式で絞り込む
このうち②を使って解いたんですが、各定数や変数の定義域がポイントになるのは、超頻出！
よって、整数問題だと分かった時点で、定義域をチェックしておくのは、マストの作業です。
偶然の出来事ではありません。
【（２）背理法と整数の理論を使う】
では（２）ですが、「存在しないことを証明する問題」。これもよくあるパターン。
２次方程式なんかでは判別式を使って解く場合もありますが、整数問題ならまず「背理法」を使うと決め打ちして取り組んでＯＫ。
つまり、等式が成立するｎ、ｐ、ｑが存在すると仮定して、等式変形を繰り返します。（どうせ矛盾するだろうな、と思いながら）
ここで重要な知識が、素数は２以外すべて奇数だという情報。（ついでに言うと、５以上の素数は６ｎ±１と書けます。）
これを使うと、
左辺は（奇数）（偶数）（偶数）の積
右辺は（偶数）（奇数）（奇数）の積です。
これ以外にも、素数が積に含まれている不定方程式ならば、筆が進むことを知っている方も多いかもしれません。
いずれにしろ、このような理論の展開が可能です。
あとは、各場合において不定方程式を解けば解けるでしょう。
ここまで、セオリー通りに解いていないところはありませんね。東大理系ならば、確実に解きたいレベルだと思います。
【（３）誘導に乗ろう！】
では最後の設問。
冒頭に書いたとおり、誘導に乗るといきなりｋ＝３が求められます。
これは精神的にも、解答的にも大きいですね。ｋが特定できないと、かなり厳しいですが、ｋが特定できると安心感が違います。
あとは不定方程式を解くだけなんですが、２通りの解答を用意しました。
１つは、河合塾の公式解説本に載っているのと同じ解法（計算が簡単）
もう一つは、愚直だけど受験生の努力の延長で解きやすい解法です。
＜河合塾の模範解答＞
ではまず河合塾の模範解答ですが、これは（１）と同様に不等式で絞り込みをして、場合分けを減らす方法です。
これは、突然思いつきづらいとは思いますが、絶対に出来ないような発想が必要なわけでもない。
学びましょう！
詳しくは、最後の手書きの解答をご覧くだされば大丈夫かと思います。
＜愚直な解答＞
こちらは、面倒ですが、（２）と同じように整数の理論から場合分けをして解く方法。
２＜ｐ＜ｑと、素数の条件を使えば、ほとんどの場合で不適な解しか出てきません。
これも、手書きの解答をご覧くだされば良いと思います。（ただ頑張ってるだけです）
ということで、まとめてどうぞ。
【まとめ】
難易度としては、東大の整数問題に比べて、同等か簡単めだと言って良いでしょう。
あまり突飛なことも登場しませんし、基礎的な技術をキチンと積み重ねれば解ける問題です。
２５分で解くとなると、満点解答を作れる人は少ないまでも、１０点以上取る受験生はかなり多くなると思います。
復習にも良い問題だと思いますので、どうぞしっかりと。
では、また次回へ～～
