2007年東大数学 文系第4問 理系第5問(途中でイレギュラー、シグマで和をとる、場合分け)

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◆2007年 東大数学 文系第4問 理系第5問の解説◆

では、今日は2007年の確率の問題です。いつも通りまず問題をどうぞ。
文系

    理系

珍しく、文系も理系も全く同じ問題です。
ということは、文系にとっては難しく、理系にとっては簡単というのが通説ですが、はたしてそうなのか!? その答えは、この記事を読み終わったときに明かされる・・・。  

◆リセット型の問題◆

では、(1)から解説していきましょう。 東大の問題は、知らない設定が登場し、情報を整理することが最大のポイントだと、もう何度書いたかわかりませんが、この問題も知らない設定のゲームが登場しています。 名付けて「ブロックを積み上げるゲーム」(←そのままかい)   ただし珍しい設定なのは、コインを投げて裏が出たらブロックの高さが0になるという設定。 僕はこういうのを「リセット型」と呼んでますが、例えば2014年の確率の問題にも登場しています。   ただし、あまり難易度が高くなる設定ではありません。あまりビビらず、情報を整理していきましょう。  

◆初手で場合分けが生ずるパターン◆

前回2010年の問題を解説した際に「初手で場合分けが生じるパターンがある」と解説しましたが、この問題も同じ。 初手に注意して場合分けするパターンです。 ただし、遷移図を書いて場合分けするわけではなく、m=nか、0≦m<nかで場合分けをします。   m=nというのは、投げたコインがすべて表が出る場合ですね。 この時、求める確率はp^nとなります。(簡単♪)   0≦m<nの場合というのは、途中で裏が出て、以後すべて表がm連続で出る場合です。 〇が表で、×が裏だとして図示すると、こんな感じ。

2007年東大数学 文系第4問 図_000050

  
×の場所や〇の数の数え方が難しいかもしれませんが、このように自分で図示することが大切です。アタマで考えず、紙に明記して目視しながら考える方が効率が良いので、必ず目視して考えるようにしましょう。   ただ、ここで難しいのは、m=nと、0≦m<nの場合分けを考えることそのものです。 普通は、0≦m<nの場合しか考えませんが、数学ではあらゆる場面を想定して考える力が求められます。 そして、気付くポイントは常に極端な状況を想定しておくこと。0や全てがヒントになります。 難しいですが、とても勉強になるポイントですので、ぜひ押さえたい所です。  

◆和をとるときにシグマが生じるパターン◆

では次に移りますが、この問題が難しいのは(2)の計算方法にあります。 教学社の東大数学25か年には、ABCDの難易度設定が振ってありますが、私の評価とはかなりずれます。 この問題はBレベルの難しさに設定されていますが、僕はCでも良いと思いますね。 逆にBなのにAだと思うものもあります。 はっきり言って、数学の問題の難しさは主観です。あまり流されないようにするのが良いでしょう。   と、脱線しましたが、この問題の難しいポイントの解説に行きましょう。 (2)で高さm以下の確率を求めるのですが、ここで、問題のパターンが2通りに分かれます。   一つは、単純に倍数を取ればよいもの。 もう一つはシグマ計算をしなければならないものです。   前者から行きましょう。 途中でイレギュラーが起こるパターンには、2006年のパターンと、今回のパターンの2通りがあります。 2006年の文系(2)や、文系(3)理系(2)を思い出してほしいのですが、樹形図の途中の枝がすべて同じ確率で求められました。 このように、途中でイレギュラーが起こったとしても、すべて同じ確率で求められる場合は、単純に倍数をかければよいのです。   しかし、今回のように、高さmの確率がmの関数で与えられる(結果にmが登場する、mによって変化する)場合、シグマを取る必要が出てきます。 ということで、(2)の答えはシグマが登場するのです。
2007年東大数学 文系第4問 黒字_000051

   
途中でイレギュラーが起こる問題は、確率のパターンの中でも相当に難しい問題に分類されます。練習問題も少ないし、なかなか身につかないと思います。   その中で、「同じ確率がたくさん生じるパターン」と「違う確率が生じるパターン」の二つがあり、単純な倍数と、シグマを取るという違うがあるということだけでも知っておくと、だいぶ心の余裕が違うと思います。   それにしても、なかなか凝った問題ですね。 普通ならば、このくらい解説したら手書きの解答を見せるところなのですが、まだまだ続きます。。。  

◆反復試行の最大最小◆

最後に立ちはだかるのは、ブロックの高い方を考える問題です。 これは、非常に考えづらい、というか教科書や教科書傍用の問題集には載っていないタイプの問題でした。(僕は、こういう問題は特に難しい問題として認定しています。)   この問題の構造の特殊さを、確率の最大最小問題と比較して説明しましょう。   普通、反復試行の最大最小問題は、このようにして解きます。
(青チャートの該当ページ)  
(最大値が6の確率)=(最大値が6以下の確率)-(最大値が5以下の確率)
というように、解くタイプの問題です。  
  今回の東大の問題は、この問題の考え方に似ています。しかし、解き方は全く違うのです。  

◆東大の問題の特殊な設定◆

この東大の問題の(3)は、2度の試行のうち、高い方のブロックの高さがmの確率を求めます。つまり、どちらかの高さがmピッタリになり、もう片方がm以下になればよいということで、   (大きい方の高さがmの確率)=(両方ともm以下の確率)ー(両方ともm-1以下の確率) と解きたくなります。   しかし、そうはいかないのです。 なぜなら、(高さがmピッタリの確率)と、(高さがm以下の確率)の計算結果が違うからです。

2007年東大数学 文系第4問 表_000052

この図の情報をしっかり理解して、立式しなければなりません。ここが難しい、というか、教科書や参考書で登場しない解法なのです。   ここまで理解したら、答えまではあと一歩。立式して計算です。 この図の赤い枠の中の3つの確率の和を取れば答えが出ます。
2006年東大数学 文系第3問 赤枠_000045

   では、手書きの解答です。

2006年東大数学 文系第3問 全部_000049

◆まとめ◆

この問題は、いろいろな仕掛けがあり、かなり難しいですね。 問題の設定自体はそれほど難しくないのですが、ちょっとしたヒネりが何度も登場し、かなり正答率は低かったのではないかと思います。   これに対し次回は、25か年では同じBランクの難易度なのに、めちゃくちゃ簡単な問題をご紹介。 たまには、簡単なのも良いね。  

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