2005年東大文系数学（第2問）入試問題の解答（答案例）・解説（割り切れる＝倍数、互いに素の条件）

２００５年　東大数学　文系第２問

昨日のスタンダードな整数問題に続いて、今日も割とスタンダードな問題をどうぞ。      
さてさて、キーワードが満載。 これをどう見る！？  

「割り切れる」条件は、割り切れる＝倍数

まず、「割り切れる」条件を言い換えることからです。   「割り切れる」と言われるとき、私がまず思いつくのが「〇〇の倍数」と言い換えること。 今回は１００００で割り切れる条件なので、１００００の倍数と言い換えます。 すると、ａ＾２－ａ＝１００００ｋ（ｋは整数）と表現できます。 これで等式ができました。

連続２整数は互いに素

さて、（積）＝（整数）の形が作れたので、次は因数分解をして候補の絞り込みをします。   左辺を因数分解し、右辺を素因数分解すると ａ（ａー１）＝２＾４×５×４　（※） となります。   ここで大切なのが「連続２整数は互いに素」だという事実です。ｘとｘ＋１など、連続する２整数は必ず互いに素になるのです。 これは、超有名事実。知らなければならない常識です。   証明はこちら

これを利用すると、ａとａー１が互いに素だと分かります。
また、ａは奇数という条件があり、右辺の１００００の素因数が２と５だけなので、   ａ＝５＾４の倍数　⇔５＾４ｃ ａー１＝２＾４の倍数　⇔２＾４ｄ   と表せます。   これを、（※）の式に代入すると、１次の不定方程式が出てきます。  

不定方程式の解法

さて、不定方程式が登場しましたが、今回は教科書に登場するようなユークリッドの互除法が利用できるパターンの式。 （わからない人は、教科書を参照のこと。必ず載っています） ということで、満たす整数解を一つ見つけて、一般解を求める流れになります。   ということで、手書きの解答をどうぞ。
2005年東大数学　文系第2問 全部_000033

まとめ

今回の問題は、 「割り切れる条件」を倍数表現に直せるか 互いに素の条件を使いこなせるか の２点にありました。   これさえ使えれば得点が取れるのですが、決してハードルの高い問題ではありません。むしろ基本知識として覚えるもののはず。   整数問題は難しいイメージがあるかもしれませんが、実は使うのは基本的な知識ということがよくある。 知識不足を感じた人は、今から学びなおすのをおススメします。