2006年 東大数学 文系第3問(整数、3文字の3乗の和、存在証明)

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2006年 東大数学 文系第3問

昨日も書いたのですが、

「戦意喪失した人には、勝利はつかめない」

「自分の運命を他人に預けようとする人には、勝利はつかめない」

勝利は強気とイケる気からやってきます。そして、それは根拠のあるものでなければなりません。

そこで、根拠ある自信をつけてもらうため、今日から東大の整数問題の解説を連続アップします。

 

今日は初回ということで、基本的な問題のこちらをどうぞ。

 

よくあるタイプの整数問題。まずはこれを解けるようにするところからスタートしましょう。

 

整数問題には2つの方針しかない。

では、(1)から見ていきますが、非常に典型的な問題。

x+y+zやxyzを見たら、大小比較から不等式を作り、このように候補を絞り込みます。

 

x+y+zに関して、小さい方と大きい方、

xyzに関して、小さい方と大きい方

というように、4つの不等式を作って、使えるものだけ使えばよいです。

 

問題集の解答には1つしか載ってないかもしれませんが、自分で解く際には4つ全て試してよいでしょう。

 

不等号を作ったら場合分け

さて、不等号ができたら、候補が絞り込めます。

今回は、xy≦3となりますから、(x、y)=(1,1)、(1,2)、(1,3)の3通りしか解がありません。

 

このように、解を有限個の候補に絞り込むことを、日本語で「整数問題を解く」と言います。

 

あとは場合分けして、一つずつ調べていけばOK。

教科書や問題集の例題のような問題でした。

3文字の3乗の和

さて、(2)に行きましょう。

次数が3に上がり、解が存在しないことの証明をします。

 

ここで注目したいのは、3文字の3乗の和です。

大学受験において、3文字の3乗の和が登場したら、いつもこれ!という式変形があります。

これです。

数学では頻出ですから、この式に関連した知識を必ず頭に入れましょう。

 

3文字の3乗の和を利用した解法

では、この式を利用した解法をご覧ください。

 

この解法のポイントは、何度も書きますが、知識があるかどうかでしょう。

しかも、赤枠の中の変形は、閃きでは絶対に思いつけない変形でしょうから、やはり覚えておかなければなりません。

では、他の解法に行きましょう。

 

別解:相加相乗平均の利用(3文字)

ほとんど同じですが、別解として相加相乗平均の利用をする解法があります。

これも、知識を覚えていれば使いこなせる解法です。

「数学は暗記だ」

「いや、数学は暗記ではない」

という論争がありますが、暗記って大事ですねぇ。

文系受験者でも、暗記で点数が取れるという、好例です。

 

別解:(1)と同様の変形

では、おまけの別解を載せましょう。

(1)と同様に変形すると解けます。

 

(1)と違って、x≦y≦zの不等号がありませんが、

画像のように「一般性を失わない」と但し書きを描けば、大小を決めてOK。

これでも解けますね。

 

では、全体の手書きの画像をどうぞ

まとめ

(1)は基本に忠実に式変形するだけ。

(2)は「これを見たらいつもこれ」という知識を使うだけ。

 

どちらも簡単に思えるようにしましょう。

整数問題の初日としては、良いですね。では、また明日。

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