2019年 東大数学 理系第5問(微分、解の配置、不等式の証明、極限、ハサミウチ、微分の定義)

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2019年 東大数学 理系第5問

 
今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題(笑)
極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。
では、解説していきましょう。
 

微分しても解を持つ条件がうまくいかない

では、(1)から見ていきましょう。
よくある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。
なければ、中間値の定理で、yが負になるxの値と、yが正になるxの値を求めれば終わりなのになぁ。
 
「ただ一つの」と言われているので、仕方なく微分して増減表を描く路線に行きます。
いつものように、(左辺)-(右辺)をf(x)とおいて、微分します。
しかし、x≦0の様子がいまいちわからないのです。
(x≧0では、単調増加になるのがすぐにわかります。)
 
「あれ?どうしよう、x≦0の範囲をどうやって調べればよいかわからないぞ」
ということで、もう一回微分しても、中々うまくいかない。
ここで困ってストップした人が多かったでしょう。

工夫をしてみよう

そんなときは、別の工夫が必要です。
そこでご紹介するのが、元々のグラフのイメージをすること。
つまり、y=cosxと、y=x^2n-1のグラフをイメージします。
と言いつつ、本当はグラフのイメージは、どんな問題でも必ず行うことなんですけどね。微分したり、差をとったりと、ちょっとでも変形したら必ずイメージをするのが標準です。
 
さて、この2つのグラフをイメージする(描いてみる)とこうなります。
 
すると、確かに解(交点)は、0≦x≦1に1つしかないだろうというのが分かります。
これを利用して、解の配置条件を絞っていきます。

不等式で挟もう

さて、グラフを利用しながら、上手く解の存在条件を考えていきます。
今回は、皆さんでも理解しやすく、発想しやすいように、cosの値域から絞ってみました。
こんな感じです。
簡単にまとめると、
・-1≦x≦0の時は逆符号になる
・0≦xの時にはf(x)が単調増加
という二つを利用して、解が一つしかないことを示しています。

(2)は瞬殺!!

サービス問題。かなり簡単です。
「cosan>cos1を示せ」とありますが、0≦x≦π/2の範囲でcosは単調減少関数ですから、an<1を示すのと同値です。
 
でも、これって(1)で既に示しています。ということで瞬殺。
これは問題というより、(3)の誘導として設定された問題でしょう。

 

(3)良問!!よく復習しよう!

では、最後の(3)。これが極限の問題として、非常に良い問題です。
このように、別種の関数の交点に関して、極限を求めさせる問題は良いですね。実力差が出る問題です。
 
あまり見たことがないという方は、勉強不足を恥じましょう。確かに教科書傍用の問題集には載ってないかもしれませんが、模試や入試としては頻出です。
慣れていれば、ちょっと手を動かしていくだけで解けると思いますので、よく復習してください。

anの極限は、いつも通りの流れで簡単♪

では、解説です。
まずはanの極限ですが、そのまま極限値を求めようとしても求められません。
このパターンの問題で、よくある解法としては、
①元々与えられている方程式に代入して、anに関する関係式を得る
②不等式で閉じて、ハサミウチの原理を利用する
の2STEPでしょう。
 
今回もこの流れに漏れず、そのまま計算できます。
 
ほら、知ってれば簡単でしょう。いつもこの流れなので、よく覚えてくださいね。

bnの極限はもっと簡単♪♪

では、bnの極限ですが、これはanよりもっと簡単♪
先ほど作った不等号の直前の式を、両辺n乗すれば終わりだからです。
ということで、こちら。
 
cの極限
では、最後にcの極限です。
aの値とbの値は求められているので、そのまま代入してしまいましょう。
すると、分母と分子に差の形が現れましたね。
 
ここでビビっと反応できなければ、東大受験生としてはNG。これまた典型的な形が登場しました。
ズバリ、「平均値の定理」や「微分の定義」を利用して極限を求める形です。
 
厳密にいえば、分母は差の形になっていなくても、分子が差の形になっていれば、反応しなければならないパターンですね。
 
解き方としても、スタンダードです。
分母がanー1となっていますから、分子も似たような形になってほしいところ。
そこで、分子がg(an)-g(1)となるような関数g(x)を探します。
 
bnの極限を求めるところを参考に、g(x)の正体を探せば、答えはもうすぐ。微分して1を代入したら答えです。
 
ということで、手書きの解答をどうぞ。
それにしても、先生としては教え甲斐のある一問ですねぇ。授業でぜひとも扱いたい問題。
生徒としても、ぜひ習得したい問題。
教育的な価値の高い良問だと思いますので、ぜひマスターして下さい。
 

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