2018年 東大文系数学 得点の作戦(戦略とは?各設問で考えること)

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戦略と作戦と戦術と大戦略

気付いてみれば、最近めっきり戦略っぽいことを書いていませんでした。
細かく言えば、これまで書いてきた、東大入試解説でも少し戦略っぽいことを書いていたんですけど、でもちょっとだけ。
「戦略」という言葉が流行ってまして、濫用されています。
狙って目標を達成するような思考法のことを「戦略」と表現しているような気がしますが、決してそれだけではありません。
例えば、世間で言われている、目標を立て、計画を立案し、実行して結果を出すようなタイプのものは、戦略学では「順次戦略」と言われるものであって、それ以外の戦略もある。(累積戦略)
年末に発売されました『論理アタマのつくり方』(ダイヤモンド社)のメインテーマである「論理」なんかは定義のない用語ですから、誰でも好きなように語って良いのですけど、「戦略」はそうではありません。
「戦略」「戦術」「作戦」はそれぞれ違う概念ですし、「大戦略」なんて言葉もあります。それぞれ違いを説明出来ますでしょうか?
一見受験から遠いようで、実は受験に直結するのが戦略の考え方です。
東大入試では、一語一語の持つ意味合いに非常にこだわって考える必要があります。何となく文章を読んでいる人は、まず「読解力」を鍛えることをオススメします。
戦略も、読解力も、成績の上げ方も分からない!!
と言う方は、幣塾の門をたたくことをオススメします。

2018年東大文系数学の攻略作戦

と、前置きは長くなりましたが、2018年の東大文系数学の作戦に行きましょう。
拙ブログでは、各科目の攻略する道筋のことを「作戦」と呼んでいます。(戦術だと小さすぎて、戦略だと大げさでしょう。)
100分の試験時間で、どのような時間を使い、どのような頭を使い、どこまで攻めていくのか。
そういう事を考えなければ、攻略が遠くなります。
極端なことを言えば、試験開始5分は1文字も書かず、解答用紙は白紙のままにするくらいで丁度よいです。
では、4問を改めて、眺めて下さい。
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法がある
入試の攻略作戦に関して、最も大切な考え方は「どの問題に手を出し、どの問題に手を出さないか」です。
普段、授業では一つ一つの問題に対して、満点解答を作る訓練ばかり受けると思いますが、入試の受験中には逆の考え方、すなわち「どの問題を解かないか」が必要になります。
この時、最も警戒すべき問題は「時間をかければ解けそうな問題」。
取り組み始めて「あっ解けそうだ」となったら、そのまま解き進める人がほとんどでしょうが、ワナです。
解けば解くほど時間が経つ。
このとき、あなたの頭の中には「もっと優先すべき問題がある」とは思わなくなっています。
時間をかけずに解ける問題を全て置き終えてから、時間がかかる問題に取り組む、という意識だけでもかなり得点が違います。
1分も勉強しなくても、成績が上がる方法があるのです。
第1問を初見で考えること
そんなことを考えながら、4問を見てみましょう。

まず第1問

(1)を解くにあたっての思考法を例示しましょう。
「直線lと直線mの方程式は簡単に求められそうだ。低いかもしれないけど、部分点がもらえそう。
さらに、点Aと直線lやmまでの距離だから、点と直線の距離の公式を使えば、LとMも求められそう。
√L+√Mを見て、√の意味が分からないけど、立式まではいけそうだ。
最小値を求めるのも、グラフが描ければ出来そうだから、総合的に見て優先的に解く問題だろうな。」
ここまで冷静に読めれば大したものです。と言っても、訓練すれば簡単に出来ます。
もし、「こんなに先読み出来ないよ」と思ったら、これまでそういう指導を受けてこなかっただけです。
(2)に関しては、
「領域Dの図示は簡単。しかし、Dの全ての(x、y)に対し、不等式が成り立つ条件とは・・・?」
と、一瞬で方針が変換できない可能性があります。
解説記事を読めば分かるように、これは領域が含む、含まれるの関係にすれば良い問題です。領域Dが、不等式の領域にスッポリ含まれれば良いのですが、それが思いつけば手を出しても良いし、思いつかなければ後回しにする問題でしょう。
ということで、実力によって優先順位が変わると言って良いと思います。
第2問を初見で考えること

次に第2問です。

(1)は超簡単。
「なんだこりゃ。計算すりゃ出るじゃん。」
と思えたら、及第点・・・?受験生平均くらいでしょうか。
確実に合格を狙うなら
「どう、(2)や(3)につながるのかな?」
とか、
「どう一般化するのかな?」
などと感がられるようになりたいところ。
東大に限らず、受験数学では具体的な数字を調べるもは、一般化へのステップだからです。
(2)を見ても
「ふむふむ。これも計算すれば解けるか。コンビネーションと階乗が面倒だけど、計算すれば出来るから、早めに手を付けて良い問題だろう。但し、計算が面倒だろうから、少し時間がかかるな。(3)も解けそうなら、時間をかけても解くべきだろうな」
といったところでしょうか。
(3)まで芋づる式に得点がもらえるなら、時間をかける価値が断然増します。
では、その(3)はどうでしょうか?
「数列が整数になる条件?聞いたことないな・・・。」
と思うのが普通でしょう。
ここで、(1)と(2)が登場。何か気付かないでしょうか?
ポイントになるのは、(2)の式ですね。
an/an-1を見て、「あ、あれだ!!」と思いつけば答えはもうすぐ。
反復試行の最大最小問題を解きこなしているかが、分かれ目でした。(詳しくは、解説記事をご覧ください。)
第3問を初見で考えること

では第3問

(1)が非常に簡単。
3次関数が単調に増加する条件なんて、死ぬほど解いている受験生も少なくないはず。
微分して正になれば良いです。微分したら、2次関数になりますから、x≧1で常に正になる条件です。あぁ簡単。
ということで(1)はもらいだな、と判断すればOK
問題は(2)です。
「条件1の、3実数解を持つ条件は簡単。極大値と極小値の間にbがあればよいんでしょ?条件2はなんだ?真ん中の実数解が1より大きいって、どういうことだ?」
となると思います。
分かってしまえば簡単なのですが、ここで分かれ目でしょう。
いわゆる「解の配置」の問題なのですが、解法がすぐにわかれば真っ先に手を付ける問題ですが、わからなければ後回し。
あとで戻ってきたい問題ではあります。
第4問を初見で考えること

さいご、第4問

「2次関数があって、範囲が限定されてる。そして、ベクトルの動く領域か。ちょっと変わってるな。」
というのが、初見の感想でしょう。
こういう時には、言葉に注目するのが大切です。
最終的に求めたいのは、点Qの「軌跡」です。
軌跡の問題では、求めたい点の座標を(x、y)とおき、パラメータで表現していくのが鉄則です。
しかも今回は、点Pと連動して動く「連動型」の軌跡。解説記事には書きましたが、割とよく見る例題と同じです。(ベクトルで書かれているので難しく見えますが)
ということで、初見では面食らうけど、取り組んでみると教科書基本問題のレベルという、「東大らしい」問題でした。
(2)は、難しいですね。
点Pが動きつつ、点Rも動く。それで、点Qの軌跡を追います。
これは、ややこしい。
こういう場合、動く物を片方固定し、もう片方だけ動かすのが鉄則なのですが、知らないと解けないでしょう。
ということで、これも合否を分かつ問題。
点Rを固定して考え、最後に動かすとキレイに問題が解けます。
知らなければ、他の問題を先に解くことをオススメします。

難易度や作戦の案

こんなことを考えながら、4問に手を付けていきましょう。
作戦の概念を持たずに取り組むと、
「東大模試でずっと1位を取り続けても、本番で第1問から解き始めて不合格になる」なんてことが起きても不思議ではありません。
私の主観ではありますが、各問題の難易度と、希望得点コース別のお勧め配分です。
2018年は、どの問題も難しすぎず、難易度に差がないため、あまり凹凸がなくて面白くないですね。
60点コースを設置しても面白かったかも(笑)
受験数学の業界では、一問ずつの解説はするけど、一年分の問題を並べて解説することがほとんどありません。だから、まだまだ未熟な業界だと思っています。
確かに、1問ずつ解説して、難しい問題が解けるようになったら、先生も教えた気になりますし、生徒も出来るようになった気がします。しかし、本番で通用するかどうかは別問題。
一問ずつしっかり解説を聞いた上で、取捨選択する力も同時に養うことを強くオススメします。

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