2016年 東大文系数学 第1問(三角形の成立条件、鋭角三角形の条件、領域図示)

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2016年 東大文系数学 第1問(三角形の成立条件、鋭角三角形の条件、領域図示)

 

4問のうち、一番得点が取りづらい問題

この年の東大入試は僕が実際に受けたものです。そして実際に受けたとき、冊子をめくった瞬間、この問題だけ点数が取り辛いと一瞬で分かります。

分かってしまえば、解答はシンプルなんですが、解答の方針を見つけることが中々難しい。そして、最後の領域図示ですが、これも減点を食らいやすいポイントです。

鋭角三角形をなす条件

では、解説に行きましょう。
この問題の最大のポイントは「鋭角三角形をなす条件」です。
しかし、鋭角三角形をなす条件というのは、高校数学の教科書のどこにも明確に登場しません。つまり、知っている条件を組み合わせて使う事によって、鋭角三角形の条件を構築しなければならないという事。ということで、少し難しいかなぁと思います。

とは言いつつも、近い条件は教科書に存在します。それが「三角形が鋭角になる条件」です。
どう違うかというと、
教科書に載ってるのは「鋭角になる条件」だけ調べればよいのに対して、この問題で求めるのは「3点が三角形をなす条件 かつ 鋭角になる条件」です。

ということで、二つをまとめましょう。

3点が三角形をなす条件

では、1つ目の3点が三角形をなす条件をまとめましょう。
下の二つを同時に満たすことです。
・3点のうち、どの2点を選んでも同一の点ではない(3つが全部バラバラの場所にある)
・3点が、同じ直線上に並ばない
です。この2条件を両方満たしていれば、鋭角かどうかはともかく、三角形になります。

ただし、この問題に関しては、点Pと点Qが原点対称で、点Rがx軸上にあることから、3点が三角形をなす条件が簡単にまとめられます。
・上の条件(どの2点を選んでも同一の点ではない条件)は、
(x,y)が原点ではない かつ (1,0)ではない かつ (-1,0)ではない。

・下の条件(3点が、同じ直線上に並ばない)は、y≠0
とまとめられます。

さらにこの2つをまとめると、y≠0だけという、シンプルな条件に集約されてしまいます。これが、三角形をなす条件です。

三角形が鋭角をなす条件

今度は、三角形が存在するのが前提として鋭角三角形になる条件をまとめましょう。
まず、鋭角三角形というのは、「内角のうち最大のものが90度未満のもの」が定義です。そして角度の計算方法として、よくあるのは余弦定理とベクトルでしょう。ということで
・三角形の最大の内角に対して、余弦定理でcosが正になる
・三角形の最大の内角に対して、ベクトルの内積が正
となります。

但し、今回の問題はどれが最大の内角になるかわからないので、
∠Aが90度未満 かつ ∠Bが90度未満 かつ ∠Cが90度未満
という条件で使います。
この辺りの細かい条件の変換も難しさを増しますね。

ここから先は、余弦定理を使っても、ベクトルを使ってもほとんど同じです。
手書きの解答には両方載せましたので、どうぞご覧くださいませ。

2016年東大数学文系第1問解答解説

図示した後の図が面白いですね。円の中に内接する円が二つ。対称性もあってキレイな図形です。
丁寧に条件を追えば、あまり難しくないのですが、鋭角三角形になる条件が少しマニアックな気がします。忘れていた方は、要復習です。

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