数学4月②

こんにちは、スタッフBです。

今回は「論理」です。

数学全体に関わる分野になります。

事前に与えられた方程式や不等式、証明法の問題に目を通し、レシピ化、行間読み、別解の検討を行ってから授業に望むことになっています。

以下、授業で学んだことを整理しました。

 

・入試では、解の公式を使う問題は少ない。

 

・連立方程式は奥が深い。

連立方程式の解き方は2つしかない。

代入法か加減法。

なんとなく選ぶのではなく、どちらが妥当か比較して判断しなければいけない。

2次方程式ならxとyのどちらを消すかの判断も必要。

・複素数と実数と虚数の違いは?

a+b iで表せる数 複素数

複素数でb=0のとき 実数

    b≠0のとき 虚数

 

・簡単な問題でレシピを抽象化して複雑な問題でも使えるように。

たとえば

|xー4|=3x

でxを求めるとき、「かつ」や「または」を使って言語化できるように理解しておく。

 

・用語を学ぼう

解とは?

元の式に代入すると成立する値

 

方程式を解くとは?

解を求める、でなく、解を過不足なく求める

 

解なしとは?

この方程式を満たすxは存在しない

 

連立とは?

複数の式をかつで結ぶこと

 

今回扱った問題で、ぼくが使っている青チャートで見慣れない問題を紹介します。

 

11

xやyの解をtで表す問題

abの値で場合分けをして、aやbで解を表す、tで表す、解なしの3つになる。

12

解を求めるのではなくaを求める問題

xを消去して、因数分解をして場合分け

aの値によって、2式が一致して解が無数、解なしなどになる

・|x|=C のとき

y=|x|とy=Cの交点を求めると考える。

だから C〉0のとき x=±c

    C=0のとき x=0

    C〈0のとき 解なし

 

・両辺を2乗したときは気をつけよう

2乗するのはどんなとき?

 不等式、√、絶対値など

2乗すると同値性が崩れるので十分性のチェックが必要

どうやって十分性をチェックする?

 ①AとBが同符号か確認

 ②解を元の式に代入

 

・命題とは?

真偽がはっきりするもの

 

・真偽の判定法

反例を探すしかない

真の判定は難しい

 

・背理法でなく対偶を使う証明の問題は?

代数では、次数を下げるのがセオリーだが、整数は次数が下がらないので、なんと次数を上げることが多い!

だから、「m^2が偶数ならば、mは偶数であることを証明せよ」のような問題では、対偶を取って「mが奇数ならば、m^2は奇数である」とし、次数を上げる方針で解く。

「〜である」の命題は背理法←「断定型

」と便宜的に呼ぶ

「pならばq」の命題は対偶←推論型と便宜的に呼ぶ

 

・対偶を使う例

2次式○○ならば1次式○○→対偶!

「ならば」→対偶

「すくなくとも」→対偶

 

・推論型「ならば」でも、背理法を使う時がある

ただし「ならば」を背理法で否定する方法は教科書にない

pならばqの反例は「p∩¬q」となる要素があること。この反例があると仮定して、矛盾させて証明する。

 

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