数学5月②接線・指数対数関数

こんにちは、スタッフBです。

今回は接線指数対数関数

 

グラフの上で接線を引くレシピとグラフ外の点から接線を引くレシピを覚えよう。

後者は、接線を作って、グラフ外の点を代入して、解くという基本中の基本。

 

3次関数が異なる3つの実数解を持つ条件→極大×極小が負になる。

3次関数の点対称の中心は、変曲点(定義は、上に凸と下に凸が切り替わる点)。

2回微分して=0で、変曲点が求められる。

 

共通テストでは、数Ⅲの話題が出やすい(2021年はハイパボリックが出た)。

 

3次関数の点対称はどうやって証明するか。

偶関数と奇関数

 

偶関数はy軸対称 例 y=cosx

奇関数は原点対称 例 y=sinx y=tanx

 

点対称は中点、線対称は垂直二等分線。

 

レシピの種類が多い共通接線

まず

①y=ax+bとおく

②( t    , f(t))とおき yーf(t)=f‘(t)(xーt)

 

接する条件

①D=0

②y=g(x)と連立して(x-α)^2を作る

③y-g(s)=g’(s)(x-s)と一致することを利用する

 

どれを選んでも計算量があまり変わらない。なんとなくアドリブで解けることが多い。

 

2つのグラフの接点が同じとき

f(x)=g(x)         y座標が同じ

f’(x)=g’(x)       傾きが同じ

 

二重接線は、接点と接戦の数が同じにならないから困る。

通常は、接線3本を求めるために、接点3つを求める。だから、「接線の数と接点の数は一致する」と書かなければいけない。4次関数などで二重接線があると、この論理が使えない。

入試では、接線の数と接点の数が一致しないことはないと思っていいが、「〜〜一致する」と書く。

 

座標と角度は相性が悪く、面倒。

数Ⅲの複素数平面を用いるととても楽。

直交座標+角度が出たら

①tanの加法定理 上下が無視できない。鈍角や鋭角で場合分けもある。計算はほんの少し楽

②ベクトルの内積(余弦定理) 2つの線の上下を無視できる。

③複素数平面(数Ⅲ)

④図形的アプローチ

 

指数対数関数

指数をそのまま攻めるか、文字で置いて攻めるかの2択

 

ガウス記号が出てきら不等式を立てる。

ガウス記号で何もできない時は、文字でおく。

logは基本的に無理数になる。

 

過去問

2008年第1問、2012年第4問

2008年第1問

基本の応酬の問題。

αの領域は、領域図示で求めると明確。

2012年第4問

やることは簡単だが、文字式に対し解の公式を使う。

レシピ化ができていないと、解の公式でpを求める考えに至らない。

「aとなる(s.t)を全て求めよ」なので、a=の式を求めて終わるのではなく、式を満たす(s.t)を求める。変形して、t=の式にしてt〈0に解を持つ条件を探る。

 

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