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2015年 東大文系数学 第4問(確率漸化式、樹形図)

2015年東大数学文系第4問解答解説

確率を制する者は、東大を制す

東大入試では必ず「場合の数・確率」が出題されると言われてますが、この年も例に漏れず出ています。
そこで、私が東大志望者には頻繁に言ってる話を一つ紹介しましょう。
場合の数・確率は数Aで習いますし、他の分野との関連性が低いので、東大合格を目指すなら、低学年のうちから場合の数・確率を極めておくのが非常に有効です!

但し、この問題に関しては、僕の説も少し揺るぎます。というのも、サーっと問題文を眺めるだけで、「数列の分野」と絡む事が分かるからです。

まず、問題文を読んで、確率の問題だと見抜けない人はいないと思います。文末が「確率を求めよ」となってますからね。
そして、問題文にnが登場するのもお判りですね。

nが登場したら確率漸化式を疑え

そこで受験生の皆さんは、nが登場した時は、いわゆる「確率漸化式」の問題ではないかと疑いましょう。
nは、数列の一般項を表します。この問題には登場しませんが、Pnが登場する時も同じです。数列の知識がなくても解ける場合もありますが、東大入試なら確率漸化式だと決め打ちして考え始めても良いと思います。

そして、確率漸化式の問題の解答は、上手に遷移図が描ければ終わりです。
この問題の遷移図は、後で貼り付けた手書きの解答の画像にありますので見てほしいんですが、簡単に言えばn回目とn+1回目の関係性を図で表したものですね。
この図を基にして漸化式を立てて解いたら、自然と答えが出てしまうっていうのが定石のパターンです。
遷移図の書き方を何問か練習して、必ず身に着けるようにして下さいね。

では、手書きの解答をどうぞ!!
2015年東大数学文系第4問解答解説

補足説明としては、表が出た時の一文字目のAと二文字目のAを区別して考えるのが少し難しいかもしれませんね。
『混乱するときは場合を分ける』というのは、数学のセオリーですので、しっかり復習をお願いします。

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