実数条件について、これでもかと噛み砕いて説明しました。

2文字を2文字に対応させるパターンを学ぼう

普通、「置換」と言ったら1文字を1文字に対応するものが多いです。
例えば、「t=x+2とおく」とした場合、tとxの対応関係を定義していますから、1文字を別の1文字に対応させていると言えます。

しかし中には、2文字を2文字に対応させる問題が登場します。
その代表例が、s=x+y t=xy と置換するパターンです。
これは、xyの2文字を、stの2文字に対応させているので、2文字を2文字に対応させていると言えます。
今回は、このように2文字を2文字に対応させる問題を扱っていこうと思います。

 

範囲設定はどうする?

さて文字を「置換」する時には、範囲設定を同時に行うことが大事です。

例えば、「t=x+2」と置換した場合、「xは全ての実数」に対し「tは全ての実数」に対応しています。

しかし、「t=x^2」と置換した場合、「xは全ての実数」に対し「t≧0」に対応します。このように、置換前と置換後で、取りうる範囲が変化する場合があります。

というか、たまたま一致することもありますが、基本的には変わります。なので必ず毎回調べる必要があります。

 

では、「s=x+y t=xy」と置換した場合、どうなるでしょうか?

先ほど書いたとおり、これはxyの2文字を、stの2文字に対応させているのですが、
これは言い換えると、xy平面をst平面に対応させていると言えます。

 

イメージ図はこちらです。


上の図を見ていただくとわかるように、xy平面ではすべての領域で実数xとyが存在できるのですが、

st平面では放物線の下側だけがsとtが存在できる領域になります。

つまり、「s=x+y t=xy」と置換した場合、t≦1/4s^2の式を一本加えるのです。

では、なぜこうなるのでしょうか。

以下に理由を説明していきますが、この理由は多少ややこしい、理解できない人は、とりあえず「s=x+y t=xyと置換した場合、t≦1/4s^2の式を一本加える」という事実を覚えれば、簡単な基本問題を解く分には困らないでしょう。本質的ではありませんが、受験であればアリかもしれません。

 

式を加える理由

さて、「xとyは実数全体」と言われると、ものすごく自由に値を取れるというイメージがあると思いますが、実際は制約があります。

それは、虚数ではダメという制約です。

「虚数ではダメ」という制約があるxとyに対し、s+y=s、xy=t という制約がさらに加わるので、もっと自由が利かなくなります。
よって、さきほどみたように放物線の下側の限定されると思ってください。

これを、考えるときに利用するのが、解と係数の関係です。
解と係数の関係を使うと、sとtがある2次方程式の解になっていると考えることができます。

 

これまで登場していなかった大文字のXが突然登場するので混乱するかもしれませんが、これはどういう意味かというと「sとtは、とにかく何らかの2次方程式の解になっている」ということです。何か文字で置かないと困るので、適当にXを使っているだけです。

逆に言えば、sとtは何かの2次方程式の解になるように、とりうる値を制限されているとも言えます。

 

2次方程式の解になるということは、判別式が0以上になる必要が出てきます。

このように、sとtはこの関係式を満たす必要があるのです。

これを「実数条件」と呼びます。

ここまでをまとめると、

「s=x+y t=xyと置換した場合、実数条件と呼ばれるt≦1/4s^2の式を一本加える」

ということになります。

 

実数条件を満たさない場合

では、実数条件を満たさない場合はどうなるのでしょうか?

先ほどお見せした、この放物線の領域を満たさないsとtを一つ例として取り上げましょう。

計算しやすそうな例として、s=1、t=1を取り上げました。

x+y=1、xy=1となるxとyを考えてみてください。xとyは実数の範囲では見つからないはずです。

ちなみにこれを解くと、

となり、やはり虚数解になります。

 

やはり、「xとyが虚数ではダメ」という制約があるからこそ、st平面では放物線の下側でなければならないのです。

 

例題を解いてみよう

では、実際に例題を解いてみましょう。

 

この問題の場合の解答は以下のようです。

一つの図にまとめると、

↑この図が答えです。

 

簡単に言うと、実数条件①と、与式の変形をした式②の両方を満たす領域を図示するだけです。

分かってしまえば大したことはないのですが、理屈を理解するのが少々苦労するかもしれませんね。

ぜひ他の問題でも利用して練習をしてみてください。

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