2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

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2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

2017年は、整数問題が文理共通でした。
簡単だ、簡単だと言われ続けている今年の数学ですが、これは難しかったと評判です。

共役な無理数に気づけ!

僕はこのHPや、アメブロでいつも「解く前に問題文を最後まで読み、読み取れる情報を読み取れ!」と言い続けていますが、この問題は非常に面白い!
解かずに通読しただけで、かなりたくさんの情報を読み取れます。

まずは、対称式。気づきました?
p=2+√5に対して、pのn乗と、-1/pのn乗があります。
大抵こういう時は、共役な無理数になるものなのです。そして計算してみるとやっぱりそうなる。
こういう「パターンの知識」をしっかり積み重ねるのが、数学の勉強です。

共役な無理数ときたら、対称式

そして、共役な無理数が登場したら、対称式がセットで出てきます。

和と積を計算してみてください。
両方とも整数値になるはずです。ということは、対称式の計算がしやすいのです。

この問題は、共役な無理数のn乗の和になってますが、これも対称式を大いに使う問題なのです。

それが、漸化式の利用なのです。

そして、漸化式を作る

共役な無理数のn乗の和が出たら、必ず登場する性質があります。
それが「nにかかわらず整数になる」というもの。
つまり、この問題の(3)の問題のことです。

東大でも過去に何度か出ています。
分かりやすいところで言うと、2003年、1997年、1993年の問題でしょう。
(今後解説をアップする予定です。)

証明の仕方は、漸化式を作って帰納法で証明です。

漸化式の作り方

で、その漸化式の作り方ですが、(2)そのものでした。変な問題に見えて、非常に基礎の積み重ねの延長にある問題です。
n乗の和を、n-1乗の和と、n-2乗の和で表すものですが、いつもの計算の流れ。
この機会に覚えてしまいましょう。

一応、手書きの解答には、2通りの解法を載せておきました。
1つは、模範解答でも載っているような、最短での計算方法で、
もう一つは、面倒で遠回りだけど、絶対に求められる方法です。(pのn乗と、-1/pのn乗を不明量とみなし、連立方程式で無理矢理解いてます。)

(4)は難しい

(4)は最大公約数を求めよという問題。これが、難しかったと評判ですね。
ただし、僕としては「なんで難しいの?」という感じ。

数学ⅠAⅡBⅢで習う項目を頭の中で一度検索しなおしてください。
最大公約数に絡む定理や性質、問題パターンは多くありません。真っ先に思い浮かべるのが、ユークリッドの互除法ですから、むしろ自然な発想です。
(他にも、GCMとLCMを使って、等式を作るタイプもありますが)

(2)で漸化式を求めておけば、an+1と、anの最大公約数が、anとan-1の最大公約数になることが分かります。
そして、漸化式を一つずらせば、anとan-1の最大公約数が、an-1とan-2の最大公約数になり、
またずらせば・・・と、繰り返すと結局a2とa1の最大公約数になります。

難しいなと感じた方は、頭の中の回路で「最大公約数=ユークリッドの互除法」と強く結び付けておいてください。

ということで、手書きの解答です。どうぞ。

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