2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

2017年は、整数問題が文理共通でした。 簡単だ、簡単だと言われ続けている今年の数学ですが、これは難しかったと評判です。

共役な無理数に気づけ!

僕はこのHPや、アメブロでいつも「解く前に問題文を最後まで読み、読み取れる情報を読み取れ!」と言い続けていますが、この問題は非常に面白い! 解かずに通読しただけで、かなりたくさんの情報を読み取れます。 まずは、対称式。気づきました? p=2+√5に対して、pのn乗と、-1/pのn乗があります。 大抵こういう時は、共役な無理数になるものなのです。そして計算してみるとやっぱりそうなる。 こういう「パターンの知識」をしっかり積み重ねるのが、数学の勉強です。

共役な無理数ときたら、対称式

そして、共役な無理数が登場したら、対称式がセットで出てきます。 和と積を計算してみてください。 両方とも整数値になるはずです。ということは、対称式の計算がしやすいのです。 この問題は、共役な無理数のn乗の和になってますが、これも対称式を大いに使う問題なのです。 それが、漸化式の利用なのです。

そして、漸化式を作る

共役な無理数のn乗の和が出たら、必ず登場する性質があります。 それが「nにかかわらず整数になる」というもの。 つまり、この問題の(3)の問題のことです。 東大でも過去に何度か出ています。 分かりやすいところで言うと、2003年、1997年、1993年の問題でしょう。 (今後解説をアップする予定です。) 証明の仕方は、漸化式を作って帰納法で証明です。

漸化式の作り方

で、その漸化式の作り方ですが、(2)そのものでした。変な問題に見えて、非常に基礎の積み重ねの延長にある問題です。 n乗の和を、n-1乗の和と、n-2乗の和で表すものですが、いつもの計算の流れ。 この機会に覚えてしまいましょう。 一応、手書きの解答には、2通りの解法を載せておきました。 1つは、模範解答でも載っているような、最短での計算方法で、 もう一つは、面倒で遠回りだけど、絶対に求められる方法です。(pのn乗と、-1/pのn乗を不明量とみなし、連立方程式で無理矢理解いてます。)

(4)は難しい

(4)は最大公約数を求めよという問題。これが、難しかったと評判ですね。 ただし、僕としては「なんで難しいの?」という感じ。 数学ⅠAⅡBⅢで習う項目を頭の中で一度検索しなおしてください。 最大公約数に絡む定理や性質、問題パターンは多くありません。真っ先に思い浮かべるのが、ユークリッドの互除法ですから、むしろ自然な発想です。 (他にも、GCMとLCMを使って、等式を作るタイプもありますが) (2)で漸化式を求めておけば、an+1と、anの最大公約数が、anとan-1の最大公約数になることが分かります。 そして、漸化式を一つずらせば、anとan-1の最大公約数が、an-1とan-2の最大公約数になり、 またずらせば・・・と、繰り返すと結局a2とa1の最大公約数になります。 難しいなと感じた方は、頭の中の回路で「最大公約数=ユークリッドの互除法」と強く結び付けておいてください。 ということで、手書きの解答です。どうぞ。 
2017年東大数学 文系第4問1_000125
2017年東大数学 文系第4問2_000126

敬天塾作成の解説

2017(4)文数 解説

こちらのpdfファイルは無料でダウンロードいただけます。
受験生の学習はもちろん、先生方の授業にお役に立てるのであれば、どうぞご自由にお使いください。
断りなしに授業時にコピペして生徒に配布するなども許可していますが、その際「敬天塾の答案である」ということを必ず明記していただくようお願いします。
ただし、無断で転売することは禁止しております。何卒ご了承ください。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)