2017年東大文系数学（第4問）・理系（第4問）入試問題の解答（答案例）・解説（ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数）

２０１７年　東大文系数学　第４問　理系数学　第４問　（ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数）

２０１７年は、整数問題が文理共通でした。 簡単だ、簡単だと言われ続けている今年の数学ですが、これは難しかったと評判です。

共役な無理数に気づけ！

僕はこのHPや、アメブロでいつも「解く前に問題文を最後まで読み、読み取れる情報を読み取れ！」と言い続けていますが、この問題は非常に面白い！ 解かずに通読しただけで、かなりたくさんの情報を読み取れます。 まずは、対称式。気づきました？ ｐ＝２＋√５に対して、ｐのｎ乗と、－１／ｐのｎ乗があります。 大抵こういう時は、共役な無理数になるものなのです。そして計算してみるとやっぱりそうなる。 こういう「パターンの知識」をしっかり積み重ねるのが、数学の勉強です。

共役な無理数ときたら、対称式

そして、共役な無理数が登場したら、対称式がセットで出てきます。 和と積を計算してみてください。 両方とも整数値になるはずです。ということは、対称式の計算がしやすいのです。 この問題は、共役な無理数のｎ乗の和になってますが、これも対称式を大いに使う問題なのです。 それが、漸化式の利用なのです。

そして、漸化式を作る

共役な無理数のｎ乗の和が出たら、必ず登場する性質があります。 それが「ｎにかかわらず整数になる」というもの。 つまり、この問題の（３）の問題のことです。 東大でも過去に何度か出ています。 分かりやすいところで言うと、２００３年、１９９７年、１９９３年の問題でしょう。 （今後解説をアップする予定です。） 証明の仕方は、漸化式を作って帰納法で証明です。

漸化式の作り方

で、その漸化式の作り方ですが、（２）そのものでした。変な問題に見えて、非常に基礎の積み重ねの延長にある問題です。 ｎ乗の和を、ｎ－１乗の和と、ｎ－２乗の和で表すものですが、いつもの計算の流れ。 この機会に覚えてしまいましょう。 一応、手書きの解答には、２通りの解法を載せておきました。 １つは、模範解答でも載っているような、最短での計算方法で、 もう一つは、面倒で遠回りだけど、絶対に求められる方法です。（ｐのｎ乗と、－１／ｐのｎ乗を不明量とみなし、連立方程式で無理矢理解いてます。）

（４）は難しい

（４）は最大公約数を求めよという問題。これが、難しかったと評判ですね。 ただし、僕としては「なんで難しいの？」という感じ。 数学ⅠＡⅡＢⅢで習う項目を頭の中で一度検索しなおしてください。 最大公約数に絡む定理や性質、問題パターンは多くありません。真っ先に思い浮かべるのが、ユークリッドの互除法ですから、むしろ自然な発想です。 （他にも、ＧＣＭとＬＣＭを使って、等式を作るタイプもありますが） （２）で漸化式を求めておけば、ａｎ＋１と、ａｎの最大公約数が、ａｎとａｎ－１の最大公約数になることが分かります。 そして、漸化式を一つずらせば、ａｎとａｎ－１の最大公約数が、ａｎ－１とａｎ－２の最大公約数になり、 またずらせば・・・と、繰り返すと結局ａ２とａ１の最大公約数になります。 難しいなと感じた方は、頭の中の回路で「最大公約数＝ユークリッドの互除法」と強く結び付けておいてください。 ということで、手書きの解答です。どうぞ。 
2017年東大数学　文系第４問１_000125
2017年東大数学　文系第４問２_000126

敬天塾作成の解説

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