２０１７年　東大理系数学　第３問（複素数平面・垂直二等分線・軌跡・反転）

２０１７年　東大理系数学　第３問（複素数平面・垂直二等分線・軌跡・反転）

出ました！複素数平面です

反転がテーマの問題

複素数、苦手な方が多いと思いますが、このレベルは解きたいところ。少なくとも、半分以上の部分点は取っておきたいところですね。 この問題は「反転」と言われる問題です。（ｚ＝１／ｗと置換することを「反転」といいます。） 原点からある半直線を引いて、その上にＰとＱの２点を取った時に、ＯＰ×ＯＱ＝一定となるようにＰとＱを動かす操作のことですね。 Ｐが直線を動くとＱが円を描いたりして、面白い連動の仕方をします。 数学の先生なんかでは有名ですが、知らなくても入試問題は解けてしまいますから、必ず知らなきゃいけないものではありません。ということで、先生の中でもしっかりと勉強している人は少ないのでは！？ 一応、青チャート何かでは触れられてるテーマなんですが。 この問題もしかり、入試問題を解くだけならば、知らなくても済むテーマなので、今回は反転の解説はしませんが、そういうテーマがあることだけは触れておきます。

（１）垂直二等分線の立式をすればOK

さて、問題へのアプローチの仕方ですが、まず（１）はｚが垂直二等分線上を動くという条件です。 原点Ｏと、点αの垂直二等分線上ということで、｜ｚ｜＝｜ｚ－α｜と作ればＯＫ。 ※垂直二等分線というのは、２点からの距離が等しい点の軌跡でもあります。中１の作図で習いますね。 このｚに１／ｗを代入して、基本通りの変形をすれば解けます。教科書の例題にされかねない簡単さです。

線分の上を動く点の処理

次に（２）ですが、これは少し頭を使います。 まず、βとβ^2ですが、これを求めるところまでは行けますかね？ 数Ⅱでは、複素数と方程式に出てきたω（オメガ）の話が通用しますし、数Ⅲならば複素数を使っても求められます。 求め方は、手書きの解答に載せておきましたが、βとβ＾２が、縦に並んだ２点になりますね。 そして、ｚがβとβ＾２の間を動くとのこと。 要するに（１）と似ている設定になるわけです。（直線を動くという意味で） 具体的には、（１）でα＝－１にすると、そのままｗの軌跡が求められます。 但し、ｚは直線上全てを動くわけではなく、βとβ＾２の間、つまり線分の間しか動きません。 よって、ｗの軌跡も全体にならない（かもしれない） という事で、どの部分が削られるかを調べれば、解答が完成です。 その、削り方が難しいんですが、今回はargを使ってます。不安ならば、実際にｚに値を代入してみて、ｗの場所をチェックしても良いですね。 では、手書きの解答をどうぞ 
2017年東大数学　理系第３問_000128

最後、全体の軌跡から、ｗが通らない所を除外する所が難しいにしても、部分点は大量に取っておきたい問題です。 複素数も頻出ですから、来年の受験生は、要復習です。