2005年 東大数学 文系第2問(割り切れる=倍数、互いに素の条件)

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2005年 東大数学 文系第2問

昨日のスタンダードな整数問題に続いて、今日も割とスタンダードな問題をどうぞ。

 

 

 

さてさて、キーワードが満載。

これをどう見る!?

 

「割り切れる」条件は、割り切れる=倍数

まず、「割り切れる」条件を言い換えることからです。

 

「割り切れる」と言われるとき、私がまず思いつくのが「〇〇の倍数」と言い換えること。

今回は10000で割り切れる条件なので、10000の倍数と言い換えます。

すると、a^2-a=10000k(kは整数)と表現できます。

これで等式ができました。

 

連続2整数は互いに素

さて、(積)=(整数)の形が作れたので、次は因数分解をして候補の絞り込みをします。

 

左辺を因数分解し、右辺を素因数分解すると

a(aー1)=2^4×5×4 (※)

となります。

 

ここで大切なのが「連続2整数は互いに素」だという事実です。xとx+1など、連続する2整数は必ず互いに素になるのです。

これは、超有名事実。知らなければならない常識です。

 

証明はこちら

 

 

これを利用すると、aとaー1が互いに素だと分かります。

また、aは奇数という条件があり、右辺の10000の素因数が2と5だけなので、

 

a=5^4の倍数 ⇔5^4c

aー1=2^4の倍数 ⇔2^4d

 

と表せます。

 

これを、(※)の式に代入すると、1次の不定方程式が出てきます。

 

不定方程式の解法

さて、不定方程式が登場しましたが、今回は教科書に登場するようなユークリッドの互除法が利用できるパターンの式。

(わからない人は、教科書を参照のこと。必ず載っています)

ということで、満たす整数解を一つ見つけて、一般解を求める流れになります。

 

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回の問題は、

「割り切れる条件」を倍数表現に直せるか

互いに素の条件を使いこなせるか

の2点にありました。

 

これさえ使えれば得点が取れるのですが、決してハードルの高い問題ではありません。むしろ基本知識として覚えるもののはず。

 

整数問題は難しいイメージがあるかもしれませんが、実は使うのは基本的な知識ということがよくある。

知識不足を感じた人は、今から学びなおすのをおススメします。

 

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2005年東大数学 文系第4問 理系第5問(フローチャートを作成、難問)

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第5弾:合格しない人から合格する人になれるイメージ戦略

 

◆2005年 東大数学 文系第4問 理系第5問の解説◆

今日は2005年の確率の問題です。
文系

理系

 

これも文系、理系で全く同じ問題です。

が、前回アップした2009年(文理全く同じ)に比べて、この難しさ、何!?

これ、時間内に解くの、結構難しいと思います。

「2005年東大数学 文系第4問 理系第5問(フローチャートを作成、難問)」の続きを読む…