2005年東大数学 文系第4問 理系第5問(フローチャートを作成、難問)

 

◆2005年 東大数学 文系第4問 理系第5問の解説◆

今日は2005年の確率の問題です。
文系
 

理系
 
これも文系、理系で全く同じ問題です。
が、前回アップした2009年(文理全く同じ)に比べて、この難しさ、何!?
これ、時間内に解くの、結構難しいと思います。  

◆問題設定が面白い◆

問題の設定を見ると、トランプのブラックジャックみたいで非常に面白いですね。 ただし、その場合分けの設定を細かく読み解くのが、中々のめんどうくささ。   どっちの値が大きいか、小さいか、よく考えながら読まないと混乱するでしょう。 ということで、分かりやすくフローチャートを作ってみました。 このようになっています。  

2005年東大数学 文系第4問 理系第5問その1_000034

青字がその時のカードの値赤字がその条件です。
(1)は甲が2枚目を引かない場合に、甲が勝つ確率を求める問題、 (2)は甲が2枚目を引く場合に、甲が勝つ確率を求める問題 ですが、上の画像のフローチャートの左が(1)、右が(2)です。  
(1)に必要な条件をすべて求めると、左下に書かれた 「c≦a」かつ「c+d≦a またはN<c+d」 になります。 まずは、これから解説しましょう。  

◆整数解を求めるために、格子点を利用◆

(1)の条件である 「c≦a」かつ「c+d≦a またはN<c+d」 において、a、c、dの文字の意味が分かっているでしょうか?   設問に「aを用いて表せ」とあるので、aは定数です。 つまり、上の赤字の条件を満たすような整数解(c,d)の個数を求めるのが解法の指針だということになります。   そこで用いると便利なのが格子点。 (c,d)のように、2つ整数の組の解の個数を求めるときは、格子点が便利なのです。 横軸にc、縦軸にdを取り、赤字の条件の領域を図示すると、このようになります。
 

2005年東大数学 文系第4問 理系第5問 グラフ_000035

 
※境界は、実線を含み、点線を含みません。  
この図の赤と青は、先ほどのフローチャートの赤と青とは異なるものです。単に領域の赤の場所と青の場所を示していると思ってください。   つまり、赤い色の領域と、青い色の領域の中にある格子点の数を数えて和を取れば答えになります。   格子点の問題は、c=kのように、どちらかの文字を固定してdの個数を求め、あとでシグマでkを動かすのが定石の手段。   ということで、上の格子点の図では、c=kの直線も引いてあります。   では、赤い領域の格子点の個数を求めましょう。  

◆赤の領域◆

赤の領域内で、c=kの上の格子点の個数を数えましょう。 上端の座標が(k,N)で含み、下端が(k,N-k)で含みませんから、 N-k<d≦Nを満たすdの個数はN-(N-k)k個です。   よって、シグマの和を取って答えです。

2005年東大数学 文系第4問 理系第5問 赤_000036

◆青の領域◆

次に青い領域ですが、先ほどのほとんど同じ方法。 上端が(k,aーk)で含み、下端が(k,0)で含みませんから、 0<d≦aーkのdの整数解の個数は aーk-0=aーkです。 これのシグマを取って

2005年東大数学 文系第4問 理系第5問 青_000037

あとは、赤の領域と青の領域の格子点の個数の和を取ると、なんとa^2個になります。
  分母は、(c,d)の選び方すべてですから、N×N個。 よって答えはこうなります。

2005年東大数学 文系第4問 理系第5問 解_000038

◆(2)は(1)の応用◆

次は、(2)なのですが、フローチャートの右側の条件をご覧ください。 「a+b≦N」かつ「c≦a+b」かつ「c+d≦a+b または N<c+d」 が甲が勝つ条件です。   このうち、後半の二つの条件 「c≦a+b」かつ「c+d≦a+b または N<c+d」 は、(1)のaをa+bに置き換えたものです。 これに注目できると、非常に計算が簡単。なぜなら、この部分の(c,d)の整数解の個数も、(1)のaをa+bに変えればよく (a+b)^2個になるのです。ああ簡単。   そして、残った1つ目の条件 「a+b≦N」 ですが、これは、bの範囲を求めるのに使えます。変形すると b≦N-aとなりますが、そもそもbはカードの数ですから、1≦b≦Nもみたします。 よって、これを「かつ」で組み合わせ、bの範囲は 「1≦b≦N-a」 です。   よって、シグマの下に1、上にN-aを書き、中身に(a+b)^2を入れれば、あとは計算だけ。   ということで、手書きの解答です。

2005年東大数学 文系第4問 理系第5問 _000039

  
それにしても、問題の設定の複雑さで整理に時間がかかりますし、(c,d)の整数解の求め方(格子点)も難しく、かなり厳しい問題ですね。
本番でこの問題が出たら、あまり積極的に時間を使わない方が良いかもしれませんね。
このあたりの見極めも、重要な力です。  

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