2014年 東大数学 文系第2問 理系第2問

今日は2014年の確率の問題です。(文系第2問、理系第2問)
理系では最後にこの問題が追加されます。
理系の追加問題は、その直前で求めたPnの一般項に対して、シグマを取るだけの問題です。
ようするに正しく計算するだけの問題。(2)まで求められれば「もらい」です。
東大の個数の処理の問題傾向
問題の設定が珍しいですね。
操作(ⅰ)では、白玉を取り出したら、過去どんな状況であろうと、白玉a個、赤玉1個にリセットされます。
ということは、白玉を取り出し続けたら、永遠に何も状況が変わらず進むということ。
対して、操作(ⅱ)では、赤玉を取り出したら、その赤玉が袋から消滅するだけです。
さて、東大の確率についての基礎知識ですが、いくつか傾向があります。
・場合の数は(ほとんど)出ない。確率ばかり出る。
・知らない設定の問題が出やすい。
・漸化式や数列と絡みやすい。
・第1問には登場しない。(どうでもよい)
上の3つはほとんど常識。東大受験したければ、絶対知っていてほしい問題です。
特に重要なのは二つ目。パット見で理系出来る設定はほとんど出ず、いつも知らない設定が登場します。
つまり東大の確率の問題は、情報の整理が難しいのです。逆に、情報の整理が上手く行けば高得点が取れる可能性が高いわけです。
そういう観点でこの問題を分析した結果、僕は「リセット型」の問題と言っています。
操作(ⅰ)は無条件に白玉a個、赤玉1個にリセットされますが、こういう設定の問題が他にも出題されています。
具体的には、2010年の確率の問題。解説は今後アップするので、お楽しみに。
見比べて、法則を探しましょう。
問1 場合分けして、計算
p1とp2を求めよということですが、これはもうお馴染み。
丁寧に問題の設定を読み込み、場合分けをして計算するだけです。それほど難しくないでしょう。
問2 確率漸化式
問2はPnを求めよということで、これももうお馴染み。
確率が数列のようにあらわされていて、一般項を求めよと言われたら、まず「確率漸化式」を疑うのが定石。東大入試では、よくあります。
確率漸化式では「遷移図」を書くのがオススメです。遷移図というのは、こういう図のこと。
n回目と、n+1回目の時で、どのように確率の推移をしているかを図にしたものです。
この時、立て方が2通りあります。
図の赤い線で立てる場合と、青い線で立てる場合です。
今回は、青い線で立てる方が、線が1本だけで済むので簡単なのですが、別に赤い線で立てても構いません(結果が同じになります)
これを立てたら、数列でよく見る漸化式の問題(が、分数の文字式になり面倒になったもの)になります。
計算が面倒なだけで、別に設定は簡単。特性方程式を解いて、いつも通り計算すれば、完了です。
(3)も計算だけ
理系のみですが、(3)が残ってます。
しかし、先ほど言った通り計算するだけ。
その計算も、等比数列の和の計算が登場するだけ。よく見ると不定形も登場せずストレートに和も極限も計算出来ます。簡単♪
ちなみに、2016年の最後にも、理系だけ計算が追加されていますが、別に難しくありませんでした。

リンク:2016年の確率の解説

では手書きの解答です。
これは、文系にしても理系にしても簡単めな問題です。
20点を取れるのも大切ですが、いかに短時間で解けるかまで狙う問題かもしれません。

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