2016年東大文系数学（第2問）・理系（第2問）入試問題の解答（答案例）・解説（確率、１手目の分岐、樹形図）

２０１６年　東大数学　文系第２問　理系第２問の解説（確率、１手目の分岐、樹形図）

今日は２０１６年の確率です。では、まずは問題をどうぞ

 「問題文が長いということは、ヒントが多いという事だよ。だからむしろ難易度は下がるんだ」 ｂｙ全国の先生 これ本当？ この問題みたいに（１）から（３）まで、小問で構成されてる問題は、確かに難易度を下げようと作ってるのでしょうが、一般に「場合の数・確率」の問題は、単にゲームのルール説明で紙面を埋めてるだけ。ヒントではないと思うんですが。。。 やはり、問題文が長い方が、難易度が高いと思います。 この問題は、３人の人がタイマンの勝負を順番にしていく。負けた人は次の勝負は一回休みで、休んでた人が勝った方と次に勝負するというもの。誰かが二連続で勝ったら、その人が優勝で、はじめはＡさんとＢさんが戦う所からスタートです。（Ｃさんだけ不利です）

東大の確率では、１０分かけてもよいから「情報の整理」に集中せよ

東大の確率の問題の最大のポイントは「情報の整理」です。 言い換えれば「法則をみつけ、シンプルにとらえる」ということ。 そして、その後の計算は、そこまで複雑ではないことが多いです。（漸化式を解くのが複雑なものもありますが） つまり、情報の整理に１０分かけたとしても、残り１５分で計算が終わればよいのでＯＫ。はじめにここに全力投球してください。

誘導に気付くな！

この問題の最後の一文に注目すると、「試合回数が３ｍ回以下で・・・」と書かれています。これは試合回数がｍを使って表現されているので、明らかにｍを答えに使います。 ｍを使うということは、数列のような考えをして一般項を求めるという事になりますから、その数列の法則を探さなければなりません。 ちなみに（２）にもｎが出てきてるので、これも何らかの法則を提示する問題ですね。そしておそらく（３）への誘導でしょう。 さらに（１）へと戻ってみると、５試合目でＡが優勝する確率を求めよ、とあります。つまりここは文字を使わず、具体的な５試合目の確率を求めさせています。 という事で、この問題では、 （１）で５試合目の確率を計算しつつ、試合回数が増えても通用するような法則を掴み、 （２）でその法則を使って、ｎ試合目の確率を求める。 （３）では、さらに（２）で得た結果を使って計算を進める つまり（１）や（２）が（３）の誘導になっているということ。 余談ですが、数学の問題で「あっホントだ！！誘導になってた！！」って気付いて、ハッとしてる人は甘い！！！ だって、全ての数学の問題は誘導ですから。 小問は、最後の結論に持っていきたいから、わざわざ設定するものですし、問題文も結論を出させるための誘導です。 だから、そもそも全ての入試問題に対して、どのように自分を誘導したいのか、という視点で見ないと、いくら経っても上のステージに立てないのです。

樹形図が非常に有効

では話を戻して、この問題の情報の整理の仕方へ。 毎日東大の確率の問題をアップしているわけですが、気づいてほしいのは、パターンがあるとという事実。 この問題は、Ａが勝ってスタートするところから始まるか、Ｂが勝つところからスタートするかで、その後の展開が全て決まります。 このように、場合分けが生じることが非常に多い。 そして、その場合分けは樹形図を書く事によってわかります。僕の研究分析の結果ですが、東大の確率の問題では、樹形図が通用しない問題はほとんど出ません。樹形図を書けば必ず何点かもらえるということです。 おまけに、その後の展開とか、法則まで見破れるという、大きな副産物も得られます。 そして、「複数回の試行をセットにして考える」というのも特徴。 Ａが勝つところからスタートすると、ＡＣＢが１セットになって繰り返し、 Ｂが勝つところからスタートすると、ＢＣＡが１セットになって繰り返します。 こういう場合、繰り返しの回数を数えるのが難しくなるのが普通なんですが、この問題は特別！数えるのが全く難しくなくて、１／２のｎ乗が登場するだけです。

和の取り方に注意

一方、（３）で和ととるところが少し難しいかもしれません。 ちょっと汚いメモですみませんが、今回３通りの和の取り方を提案してみます。 （２）からの流れで、横に和を取るのが普通だと思いますけど、色々出来ますね。お好きにどうぞ。

理系だからと言って、何か難しい？

理系に関しては、最後に条件付き確率が追加されてるだけで、特に難しいところはありません。 正しく計算して、分数を作ればＯＫ。 問題はこちら では、最後に手書きの解答をどうぞ。 まず、文系の問題のもの そして、理系の追加問題の分です。

敬天塾作成の解説

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