2016年 東大数学 文系第二問 理系第二問

東大の確率の入試解説を毎日連続アップ中!

東大の入試解説の第二弾!

今日は2016年の確率です。では、まずは問題をどうぞ

「問題文が長いということは、ヒントが多いという事だよ。だからむしろ難易度は下がるんだ」
by全国の先生

これ本当?

この問題みたいに(1)から(3)まで、小問で構成されてる問題は、確かに難易度を下げようと作ってるのでしょうが、一般に「場合の数・確率」の問題は、単にゲームのルール説明で紙面を埋めてるだけ。ヒントではないと思うんですが。。。
やはり、問題文が長い方が、難易度が高いと思います。

この問題は、3人の人がタイマンの勝負を順番にしていく。負けた人は次の勝負は一回休みで、休んでた人が勝った方と次に勝負するというもの。誰かが二連続で勝ったら、その人が優勝で、はじめはAさんとBさんが戦う所からスタートです。(Cさんだけ不利です)

東大の確率では、10分かけてもよいから「情報の整理」に集中せよ

東大の確率の問題の最大のポイントは「情報の整理」です。
言い換えれば「法則をみつけ、シンプルにとらえる」ということ。
そして、その後の計算は、そこまで複雑ではないことが多いです。(漸化式を解くのが複雑なものもありますが)
つまり、情報の整理に10分かけたとしても、残り15分で計算が終わればよいのでOK。はじめにここに全力投球してください。

誘導に気付くな!

この問題の最後の一文に注目すると、「試合回数が3m回以下で・・・」と書かれています。これは試合回数がmを使って表現されているので、明らかにmを答えに使います。
mを使うということは、数列のような考えをして一般項を求めるという事になりますから、その数列の法則を探さなければなりません。

ちなみに(2)にもnが出てきてるので、これも何らかの法則を提示する問題ですね。そしておそらく(3)への誘導でしょう。
さらに(1)へと戻ってみると、5試合目でAが優勝する確率を求めよ、とあります。つまりここは文字を使わず、具体的な5試合目の確率を求めさせています。

という事で、この問題では、
(1)で5試合目の確率を計算しつつ、試合回数が増えても通用するような法則を掴み、
(2)でその法則を使って、n試合目の確率を求める。
(3)では、さらに(2)で得た結果を使って計算を進める
つまり(1)や(2)が(3)の誘導になっているということ。

余談ですが、数学の問題で「あっホントだ!!誘導になってた!!」って気付いて、ハッとしてる人は甘い!!!
だって、全ての数学の問題は誘導ですから。
小問は、最後の結論に持っていきたいから、わざわざ設定するものですし、問題文も結論を出させるための誘導です。
だから、そもそも全ての入試問題に対して、どのように自分を誘導したいのか、という視点で見ないと、いくら経っても上のステージに立てないのです。

樹形図が非常に有効

では話を戻して、この問題の情報の整理の仕方へ。
毎日東大の確率の問題をアップしているわけですが、気づいてほしいのは、パターンがあるとという事実。

この問題は、Aが勝ってスタートするところから始まるか、Bが勝つところからスタートするかで、その後の展開が全て決まります。
このように、場合分けが生じることが非常に多い。
そして、その場合分けは樹形図を書く事によってわかります。僕の研究分析の結果ですが、東大の確率の問題では、樹形図が通用しない問題はほとんど出ません。樹形図を書けば必ず何点かもらえるということです。
おまけに、その後の展開とか、法則まで見破れるという、大きな副産物も得られます。

そして、「複数回の試行をセットにして考える」というのも特徴。
Aが勝つところからスタートすると、ACBが1セットになって繰り返し、
Bが勝つところからスタートすると、BCAが1セットになって繰り返します。
こういう場合、繰り返しの回数を数えるのが難しくなるのが普通なんですが、この問題は特別!数えるのが全く難しくなくて、1/2のn乗が登場するだけです。

和の取り方に注意

一方、(3)で和ととるところが少し難しいかもしれません。
ちょっと汚いメモですみませんが、今回3通りの和の取り方を提案してみます。

(2)からの流れで、横に和を取るのが普通だと思いますけど、色々出来ますね。お好きにどうぞ。

理系だからと言って、何か難しい?

理系に関しては、最後に条件付き確率が追加されてるだけで、特に難しいところはありません。
正しく計算して、分数を作ればOK。
問題はこちら

では、最後に手書きの解答をどうぞ。
まず、文系の問題のもの

そして、理系の追加問題の分です。

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