【日本一早い東大模試解説】２０１７夏　駿台実戦　文系第３問

最難問。１手目をどうする！？

今日は、第三問です。これはやられましたね。

今回の東大駿台実戦、問題文の短さに、何かこだわりがあるのでしょうか？

これは毎回１問くらい出る「１手目に困る問題」ですね。

第１問の、割り算の余りの問題

第２問の、場合の数・確率の問題

は、どの分野で解くのか、迷わず行けると思うのですが、第三問はそもそもどの公式を使って良いかが分からない。

さあ、皆さんだったら、どの手を打ちますか？？

実は２手のみ

【世界一早い東大模試解説】2017夏 河合オープン文系第３問

ちなみに、今年の東大入試でも出ています。その解説も合わせてどうぞ。

２０１７年　東大文系数学　第２問の解説（ベクトル・領域図示・面積）

ま、恐らく、河合も駿台も、今年の入試を見て問題を作っているんでしょうね。存在領域の問題は、対策必須でしょう。

解の配置として解くと・・・？

河合のオープンは、解の配置として解く問題が出題されましたが、駿台ではどうでしょうか？

実は、解の配置として解くと、痛い目を見る問題でした。

の理由を説明しましょう。

この問題、方程式としてみ見た時に、真っ先に思い出すのは「対称性」

あらゆる数学の先生が、口角に泡を飛ばして重要だと絶叫するのが対称性ですが、この問題は罠かもしれませんね。

この問題、対称性を意識して、三角関数の公式を使おうと思うと、

２辺とも２乗して足すのがスタンダードな流れだと思うのですが、、、、ここに罠があります。

試しに、多くの人が間違ったであろう、誤答例を作ってみました。

辺々２乗して足すと、加法定理が使えて、「お☆・・・これは、上手く行きそうだ」と一瞬思ってしまいますね。

左辺を動かした時に、右辺が解を持てば良いから・・・と解の配置で解いてはいけません。

手書きの誤答例にも書きましたが、この式はｘとａが好きな値を取れません。

ｘとａの関係式①があるため、ｘが動いたらａも動いてしまいます。

同様に、ｙも動けばｂも動く。

だから、ｘとｙを動かしたら、同時にａとｂも動かして考えなければなりません。

ここが引っかかり易いミスでしょう。

マジメに教科書や問題集の勉強をして、素直に言われた通り解こうとすると間違える。

うーん、良い問題というべきか、性格の悪い問題というべきか・・・。

正解に辿り着くの解法はベクトルだった。

実は、丁寧に解の配置の問題として解いていっても解けます。それが、駿台の模範解答の別解に載っているんですが、ちょっと計算量が多すぎて、試験中に思いついて正しく計算出来るかというと、現実的ではありません。

ということで、解の配置ではなく、ベクトルで解くというのが、正解に辿り着く解法でした。

さっきから言ってるベクトルの存在領域の問題っていうのは、手持ちの４ＳＴＥＰで言うと、この問題に該当しますね。

ここに存在領域の図示が登場します。

ベクトルだと思って考えると、（cosx, sinx) というベクトルと、（cosy, siny）というベクトルの和が、（a, b）というベクトルになっていると見れます。

円の上で円を描いてみた。

解答を進めてみましょう。

ベクトルｘも、ベクトルｙも、文字を変えただけで、同じ条件です。

調べてみると、ｘの範囲やｙの範囲が、０からπまでです。

と言う事は、単位円の上半分という事ですね。

だから、単位円の上半分の色々な点から、単位円のの上半分を書きまくるのが、求める領域です。

駿台の模範解答では分かり辛かったと思うので、僕は実際にやってみました！

手書きの解答をご覧ください。

赤い点線の上に、コンパスの針を刺して、上半分の円を描きまくってみました。（結構、大変だった）。

すると、見事、大きな半円から、小さい半円を二つくり抜いた形になりましたね。

これが、求める領域です。

まとめ

ま、この問題は、一手目の着想も難しいですし、点数が取れなくても気にしなくて良いでしょう。

第一問と第二問で確実に点数を取って、第三問と第四問は部分点が少しとれたらＯＫというような作戦で良いと思います。

しかし、学ぶことは多いですね。

始めの２本の方程式からベクトルの発想に行きつくところや、ベクトルの和で存在領域を求めることなど、初めて学ぶことも多いと思いますから、しっかり復習して下さい。