2024年東大文系数学（第2問）入試問題の解答（答案例）・解説

２０２４年 東京大学数学 文系第２問

（１）今年一番簡単な問題

今年の問題は、第１問と第３問に（１）からやや解きづらい問題が出題されました。どちらも典型的な解法で通用するのですが、ひねりが加えられています。
ということで、数学がとても苦手な人にとっては、この第２問（１）しか解けなかったという人も多いことでしょう。

解説するまでもないレベル、とも言い切れるような「教科書の例題」ですが、常用対数のlog2が数値ではなく、不等式で与えられていることに、やや戸惑う人もいるでしょう。
理系の受験生や、数学の先生からしてみると、何ともないことかもしれませんが、数学が苦手な方は、こういうちょっとした変化で崩れてしまうものです。

log2が不等式で与えられていようと、やることはほとんど変わりません。最後に、最小のｎを特定するところで、計算量がちょっとだけ増えるだけです。以下の解答例を見て「なるほどな」と確認しておいてください！

（２）理系ならすぐわかるけど・・・

さて、（２）に行きましょう。
これまた理系の先生からしてみると「大した事ない問題」と思うかもしれませんが、文系の皆さんはかなり苦労したのではないかと思います。
確かに、考えることや構造は簡単なことです。しかし、文系の受験生は過去に解いたことがあるパターンしか対応できない生徒がおおく、その場で自分で考えて立式するとか、計算するっていうことがなかなかできません。

今回も、わかっちゃえば簡単なのに、自分では発想できないという、絶妙なラインの問題です。
余談ですが、最近の東大では、この絶妙なラインの問題をよく見かけます。

先に答えを予測できちゃう問題

まずは常套手段として、(1)と比較しましょう。
(1)の答えは28でした。では、(2)の答えは、どのくらいの数字になるでしょうか？
この問いに（仮説でも良いので）答えられれば、この問題の本質的なところは理解していると言ってよいでしょう。そう、この問題は答えが先に出てしまう問題なのです。

ズバリ答えは28。(1)と同じです。
ただし、予想や仮説として、27と予想した人も全然ＯＫです。26でも良いですが、26だとちょっと甘いかな。
合格レベルとして許容できるのは27までです。

「発散速度」が分かれば、答えが予測できる。

では、なぜ答えが予測できるか。というか、なぜ（１）と同じになると予測できるのか。
「発散速度」を理解すればわかるでしょう。

発散速度とは、数Ⅲの極限を勉強すると学ぶ概念です。
（だから理系の人にしてみると、当たり前なので、文系の人の何倍も簡単に見える問題なのです。）
細かい定義などは面倒なので、ここでは直感的な理解を重視して説明すると「数字の大きくなりやすさ」のようなものでしょうか。

例を出しましょう。
ｘに１，２，３・・・・と、段々大きな数字を代入していくとします。
この時、ｘ＾２とｘ＾３では、どちらが数字が大きいでしょう。もちろん、ｘ＾２より、ｘ＾３の方が大きいですね。こんな感じで、別々の関数を比べたときに、数字が最終的に大きくなる関数が「発散速度が大きい関数」で、逆になかなか大きくならない関数が「発散速度が小さい関数」です。
これが理解できれば、発散速度を理解したも同然です。ということで、別に難しいものではありません。

数ⅡＢまでに登場する関数で、速度の優劣をつけてみましょう。
もっとも小さいのが、sinxとcosxですね。
ｘにどんな大きな値を代入しても、ー１と１の間をウロウロして、全然数字が大きくなりません。
まあ、コイツは例外みたいなヤツですね(笑)。普通は、ちゃんと大きくなり続ける関数で比較します。

次がlogｘでしょう。（底は１より大きいとしておいてください）
logxのグラフを考えると、確かにグラフはずっと大きくなり続けますが、その速度はメチャクチャ遅いです。例えば、底が２の場合は、ｘが２倍になって、やっとｙが１増えます。
ｘが１００００から２００００に増えて、やっとｙが１増える。ほぼ真横のグラフですが、ちゃんと増加しているというグラフなんですね。

次が整関数と言われる、ｘ＾ｎの関数です。ｘ＾２とかｘ＾３とかですね。
もちろん、ｎが大きくなれば、発散速度が速くなります。

最強なのが指数関数です。２＾ｘとか３＾ｘとかですね。
こいつ等はメチャクチャ早いです。
ｙ＝ｘ＾１００と、ｙ＝２＾ｘを比べてどちらが発散速度が速いと思いますか？
１００乗もしていれば、さすがにかなり早いと思うかもしれませんが、違います。ｘに小さい値を代入すれば、ｘ＾１００が大きいですが、ｘに大きい値を代入すればするほど、２＾ｘの方が圧倒的に大きくなります。
大きい値というのは、１００や２００ではありません。千、万、億、兆、京・・・と続くよりもっと大きな値です。こういう大きな値を代入すると、１００乗するより、２倍、２倍と倍にしていった方がはるかに大きくなります。

４＾ｍと５＾ｍも、圧倒的な差がある

もう少し発散速度にお付き合いください。
今回登場しているのは、４＾ｍと５＾ｍです。指数関数の底が１だけ違う関数ですね。
しかし、この２つを比較しても、圧倒的に発散速度が違います。

毎回４倍ずつされる関数と、毎回５倍ずつされる関数ですから、何回も繰り返せばかなりの差になっているというわけです。

余談ですが、こんな数式を見たことがあるでしょうか。

毎日、自分が１％ずつ成長した場合と、毎日１％ずつ退歩した場合、１年後にどれくらいの差がついているか。
という例え話によく使われる式です。
なんと、毎日１％ずつ成長すると、１年後には実力が38倍近くになるけど、１％ずつ退歩するとたった３％になってしまうんですね。

この指数関数は、底が0.01しか違いません。しかし、365乗すると大きな差になります。

話を戻すと、４＾ｍと５＾ｍでは大きな差になるのがお判りでしょうか？今回は高々２８乗くらいですが、それでも結構差が付きます。

５＾ｍの方が圧倒的に大きい

ということで、５＾ｍの方が圧倒的に大きく、４＾ｍは圧倒的に小さくなるだろうという予測が出来ました。
発散速度を知っていると、こういう予測が簡単にできてしまうんですね。

５＾ｍ＋４＾ｍ＞１０＾１９　の左辺においても、４＾ｍはほとんど大きさに寄与していないということになります。
例えば、１００兆＋１万みたいな感じだと思ってください。１万の部分はそんなに貢献していないわけです。

ということは、この式は実質的に
５＾ｍ＞１０＾１９　を考えているのと同じ。つまり、（１）と同じ式を考えているに過ぎないのです。

証明して終わり

では、最後に証明していきましょう。
４＾ｍはほぼ無視できるということで、我々の仮説は、「与式を満たす最小のｍは２８」です。

ということは、ｍ＝２７の時に、与式を満たさないことを示せばＯＫ。５＾２７＋４＾２７を計算して、１０＾１９未満であることを示しましょう。

ここで、５＾２７や４＾２７を実際に手計算することもできますが（実際にやった人がいるみたいですね笑）
実際のところは現実的ではないので、セオリー通り対数を取ります。

この時、５＾２７＋４＾２７全体を対数にとってはダメですよ。別々に対数を取ってください。

こうやって、別々に対数をとる計算をしたことがない人が多いでしょう。私もしたことがありません。（多分）
ココが難しいところですね。過去に解いたことがあるパターンから逸脱するので、非常に難しく感じるでしょう。（というか、別々に対数をとるという発想すら出てこないかもしれません）

この発想や計算が難しいだろうということで、私はこの問題の難易度判定をやや難にしました。こういう場合はせめて「対数をとって５＾２７＋４＾２７＜１０＾１９を示す」など、方針は書いておきましょうね。

では、手書きの解答をご覧ください。

オマケ

今回は、発散速度を中心に解説を書きました。
なぜ私がこんなに発散速度に注目して書いたかというと、数Ⅲの内容だからです。

「数Ⅲのことは文系の受験生はわからないでしょ。わかりやすく解説してあげるよ」という優しさもあるにはありますが、そこがメインではありません。
文系受験でも、数Ⅲが分かっていた方が良いという事実を示すためです。

もちろん、数Ⅲ全部を履修した方が良いとは思いませんが、一部の考え方などは文系の皆さんにも必要です。
「東大入試は決められた範囲からしか出ないよ」という嘘に騙されてはいけません。どんな知識が役に立つかわからないのが、東大入試です。
気づいた時や出会った時だけでも良いので、数Ⅲだろうが何だろうが学んでおきましょう。
「自分は文系だから数ⅡBまでで良いんだ」などと閉鎖的に考えてしまう人は、自ら駒場から後ずさりしているのです。

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