2014年 東大数学 理系第4問の解説(不等式の証明、漸化式の極限、中間値の定理)

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2014年理系第4問の解説

2014年の最後の問題の解説です。
今日もやっていきましょう。

解かずに分析:(1)不等式の証明の方針立て

では、いつも通り、解かずに分析をしていきましょう。
まず(1)ですが、大きな問題の種別としては「不等式の証明」です。
ということは、立てる式としては(左辺)-(右辺)が定石。
(もしくは(大きい方)-(小さいほう)でも良いです。)
ということで、f(x)-0と、1-f(x)を考えます。
また、「0<x<1の範囲で成立する事を示せ」という指示ですが、これは言い換えると「0<x<1の範囲で、常に」ということ。
常に成立する不等式を証明する問題は、一見不等式に見えて、実は最大値と最小値の問題。
(クラスの最低点のヤツが赤点でなければ、クラス全員赤点ではない、というのと同じ)
また最大値と最小値の問題では、原則としてグラフを描くのが定石。
ということで、f(x)-0のグラフと、1-f(x)のグラフを描けば証明できそうだな、となります。
(でも、やってみると分かりますが、この方法では挫折します。あくまで、問題の初見の時に、どう考えるかという提案です。)
この挫折する方針の部分も、手書きの解答に書いているので、どうぞご覧くださいませ。

不等式の変形

では、どのように方針転換するか。
相加相乗なんかの、特殊な不等式でもないしなぁ。グラフでも出来ないし・・・。
と散々色々考えた挙げ句、まさかと思ってやった方針が正解。
不等式を、下限と上限ではさむ方法です。
もちろんメジャーな方法なので、いきなり思いつく方もいると思いますが、あまり初手から取り組む事は少ない方法です。
というか、解ける時にはアッサリ解けすぎて、あまり手ごたえがない。
やはり微分して、グラフを描いて・・・の方が、「解いている感」がありますからね。
ということで、下限に見積もり、上限に見積もり・・・と試行錯誤している様子も、わざと手書きの解答に書いていますので、どうぞ参考に。
{BC803430-FC22-40B3-AE70-6A6F4316B8C4}
 (今日、なぜかスキャナの調子が悪くてスキャン出来ませんでした。写真で失礼します。)

解かずに分析:(2)漸化式の極限値を求める

(2)はf(x)を使って漸化式が与えられ、その極限を求める問題です。
漸化式の極限を求める時に持っていく方針と言えば、このタイプの問題です。
{5CE7D612-C232-4EAA-90E1-29384B714C4D}

(プラチカ数Ⅲより)

普通はこの問題のように小問に分かれてて、不等式を作る方法も、もう少し丁寧な誘導があるのですが、東大に入りたければこれくらい解けというメッセージなのでしょうか。
解答を作る方針としてはアルアルですので、迷わず行きたい所です。
ちなみに、解答はこう
{4C3060A0-0E54-4668-A721-C71F32B0DF87}
{0457C13A-E77E-4F79-AF7D-C8FDCE7C0705}

解かずに分析:(3)中間値の定理

最後(3)ですが、まずは、c=f(c)を見て反応出来るかどうか。
これは、f(x)-xを新たな関数、例えばg(x)とおいて、g(x)=0を示すのが定番です。
つまり、g(x)=f(x)-x となります。
また、0<c<1を満たすということで、まず最初に中間値の定理を連想しましょう。
ここで、g(0)とg(1)の符号が逆になってくれれば、問題終了何ですが、そうは問屋が卸さない。
g(0)=0になってしまいますから、g(x)のグラフを描かなければなりません。(というか、増減表)
そこでg(x)を微分してみるのですが、まだ符号が見えない。
ということで、g(x)の2回微分を考えると、やっと符号が決まりました。
あとは、元の関数へ戻っていくと完成。
なんと(3)が最も普通の問題でしたね(笑)
ということで、手書きの解答の残りを。
{19F8208F-0EBB-4377-A2B3-BF8523CBC2B9}

(1)が解けなくても、(2)を解いて良い!!

さて、最後に大事なことを言って終わりましょう。
タイトル通り、(1)が解けなくても、(2)を解いて良いです。
(1)が解けなくて、(2)と(3)を捨てて次の大問に行く方が多いですが、非常にもったいない!!!
この問題は、(1)が解けなくても(2)に影響ないですし、(2)が解けなくても(3)に影響がない。
珍しいですが、それぞれ独立した問題でした。
また、前の問題が次の問題の誘導になっているような場合でも、別に解いて構いません。
(1)の証明が出来てなくても、出来た前提で(2)を解いても良いでしょう。
このブログでは、問題文に全て目を通して、最後の方まで解かずに分析してから、最後に手を動かすことをオススメしています。
しかし、最後まで解かず、(1)だけ読んですぐに手を動かすクセがあると、(2)や(3)を解こうという発想がなくなるでしょう。
不等式の変形の仕方もさることながら、問題を解く戦術に関しても勉強になる良問でした。
もう、入試も明後日に迫りましたが、まだまだ「1分も勉強しなくても、点数が上がる方法」があります。
一生懸命頑張るだけでなく、頭を使った受験勉強をして下さい。
それでは。

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