２０１８年夏　河合　東大オープン　文系数学第４問

それでは、文系数学の最後、確率の問題に行きましょう。

東大の確率は、見たことのない問題が出る

東大数学といえば、確率の問題が頻出！
毎年必ず出るといわれてますが、実際は数年度だけ出題されなかった年がありまして、それが去年の入試。

といいつつ、これまでの経緯を踏まえると、来年の入試にも登場するでしょうから、対策は必須。ぜひ時間をかけて取り組んでほしいと思います。

しかしながら、それにしても東大の確率は、見たことのない問題が出ますよね。
教科書や問題集で見たことのあるような問題ではなく、設定を少し捻ったり複雑にしたりと、工夫がみられるものがほとんど。
そのため、対策がしづらいのも特徴です。

私も、「ブログやHPで、数をこなすだけの勉強は止めろ」と絶叫していますが、しかし確率の対策に関しては色々なパターンに触れて、解法を抽象化するのが必要だと思います。
今回の河合塾の問題も練習に良い問題ですので、ぜひ取り組んでほしいと思いますね。

文系も数Ⅲを勉強しておく方が有利！？
この問題、文系受験者にとって不利だったのは、理系では常識とされている知識がないということですね。
数Ⅲでは、初項と公比が１／２の等比数列の無限個の和が１になるという有名な事実が登場します。
こちらの画像をご覧くださいませ。

「１／２を足す」というのを、「１／２の面積を塗る」と変換すると、わかりやすい図が出てきます。
この知識があると、問題がかなり解きやすかったでしょうね。

河合塾の模範解答でも、僕の手書きの解答でも、
A：サイコロで１か２の目が出る
B：サイコロで３か４の目が出る
C：サイコロで５か６の目が出る
と定義しました。

すると、
・１回目からずっとAが出続けるのが、点Pの座標が最大になるときで、１　＋　１／２　＋　１／４　＋・・・＝２（無限の和）となり、
・１回目からずっとBが出続けるのと、１／２　＋　１／４　＋　１／８　＋・・・＝１（無限の和）となります。

上の足し算は無限に足した場合なので、ｎ回目（つまり途中）で足すのを止めたら、もっと合計が小さくなります。
つまり、
事実①：１回目からｎ回目まで、全部Aの時の点Pの座標は、１　＋　１／２　＋・・・＋（１／２）＾ｎ＜２
事実②：１回目からｎ回目まで、全部Bの時の点Pの座標は、１／２　＋　１／４　＋・・・＋（１／２）＾ｎ－１＜１
もわかる。

これを踏まえて（１）の問題を見てみると、問題の趣旨は「一回目にCが起きると合計が１を超えない」のを示せというもの。

そりゃあ当然です。
なぜならば、点Pの座標が最大になるのは、上の事実①の場合ですね。
これを踏まえて、１回目にCが出た場合の点Pの最大値は、この事実①の一番左の１を０に変えればよいわけで、すると両辺から１を引いて、
１／２　＋　１／４　＋・・・＋（１／２）＾ｎ＜１

つまり、１回目にCが出てしまうと、そのロスをカバーしようとして、どれだけAを連続させたとしても、１に満たないわけです。
これで、（１）は終了。
解けました。

第２問の復習：「常に　＋　不等式　は最大最小問題」の法則を利用しても良い。
他にも考え方があります。
第２問の時に、「常に　＋　不等式　は最大最小問題」だというのを説明しました。
２０１８年夏　河合東大オープン　文系数学第２問

これを使うと、「１回目にCだったとき、常にｘｎ＜１」を示すわけですから、言い換えて
「ｘｎの最大値＜１」を示せばよいわけです。

ｘｎの最大値はずっとＡが出続けるわけですから、ＣＡＡＡＡＡ・・・という場合の確率を考えれば示せます。

難しいときは、具体的な数字で試せ！

さて、難しい方の問題（２）。
ｘｎ≧１となる確率を求めよとのことですが、これが難しい。
パッと見て解法が分かる人は少数でしょう。

そういうときの対処法は、意外と少なく、最も有名なものは具体的な数字で試すこと。
手書きの解答で、実際に試していますが、１回目で１を超える場合、２回目で１を超える場合、３回目で１を超える場合・・・と試してみて下さい。

すると、意外にも場合が少ないことが分かります。
あとは、樹形図を描いて答え。

書いていると簡単に見えて、実際に手を動かすと難しいのは分かりますが、しかし具体的な場合で試すのは王道。
ｎで難しければ、小さい数で試す。ぜひ次の試験でやってみましょう。

ということで、手書きの解答です。