2004年東大文系数学（第4問）・理系（第6問）入試問題の解答（答案例）・解説（対称性、偶奇、確率漸化式）

 

２００４年確率の問題の解説

  今日も行きましょう。２００４年の確率です。   文系はこちら  

理系はこちら

 

（１）は全く同じ。 （２）は、文理で少し違います。 文理で求める色の並び方が少し違います。 そして、文系は奇数番だけの確率を求める問題、理系は偶奇の指定がありません。   だとしても、大きな違いはありません。設定もほとんど同じ。いつも通り、文系にはヒントが少し多め、理系は難易度が少し高めという違い程度です。

２０１２年とほとんど同じ問題

では、解説ですが、ぜひとも昨日の記事（２０１２年の問題）と見比べながらご覧くださいませ。   ２０１２年の問題のポイントは ①対称性で複数の状態をまとめる ②偶奇で場合を分ける ③遷移図を描いて確率漸化式を立てる の３つでした。   これが全て登場するのが、今回の２００４年の問題です。これは、もはや類題と言って良いレベル。非常に似ています。   一つずつ検証していきましょう。  

対称性で複数の状態を一つにまとめる

まず面倒なので、白をＷ、黒をＢと表記させてください。（ＷｈｉｔｅとＢｌａｃｋです）   そして操作によって、８つの状態に分かれます。 ①ＷＷＷ ②ＢＷＷ ③ＷＢＷ ④ＷＷＢ ⑤ＢＢＷ ⑥ＢＷＢ ⑦ＷＢＢ ⑧ＢＢＢ この８つです。 ８つの状態があると考えると、８つの種類の遷移図と漸化式を立てることになるのですが、８つの漸化式は解く気になりません。   そこで、今回のポイント 「対称性を利用して複数の状態を一つにまとめる」を使います。（くどいですが、２０１２年と同様） よく考えると、 ②③④は、Ｗ２つ、Ｂ１つという点で同じ ⑤⑥⑦は、Ｗ１つ、Ｂ２つという点で同じです。   ということで、これで４つの状態にまでまとめられました。 Ａ：「ＷＷＷ」 Ｂ：「ＢＷＷ」「ＷＢＷ」「ＷＷＢ」 Ｃ：「ＢＢＷ」「ＢＷＢ」「ＷＢＢ」 Ｄ：「ＢＢＢ」  

偶奇の場合に分けて考える

次に、２つ目のポイント、「偶奇の場合に分けて考える」を使います。 先ほどわけたＡＢＣＤの４つの状態のうち、 ＡとＣは偶数回の操作後 ＢとＤは奇数回の操作後 に発生する状態です。   文系の（２）の問題は、奇数回の操作後にＢになる確率を求めればよいという問題ですから、 ＢとＤの間で遷移図や漸化式を立てればよいことになります。  

遷移図を描いて確率漸化式を立てる

最後に三つ目のポイントです。 確率漸化式の定番、遷移図を描く問題です。   先程、ＢとＤにおいての関係性が見えましたので、この画像のように計算してください。

2003年東大数学　文系第4問　理系第６問　別解_000028

もし、偶奇の関係性が見えなくても、ＡＢＣＤの遷移図を描いて、４本の確率漸化式を立てても大丈夫です。

2003年東大数学　文系第4問　理系第６問　遷移図_000029

   

では、手書きの解答の全体をどうぞ。

2004年東大数学　文系第4問　理系第６問 その1_000030
2004年東大数学　文系第4問　理系第６問 その2_000031
   
※別解として、樹形図などの方法も載せてあります。  

まとめ

２０１２年の問題と同様に３つのポイント ①対称性で複数の状態をまとめる ②偶奇で場合を分ける ③遷移図を描いて確率漸化式を立てる がドハマりする問題だったのがお分かりでしょうか。   このタイプの問題が、東大確率の王道であり、最も汎用性の高い問題パターンです。 なんと、明日もほとんど類題と言える問題をアップします。   東大に受かりたければ、このパターンは必ず押さえるべきでしょう。 では、明日もお楽しみに。

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