2004年 東大数学 文系第4問 理系第6問(対称性、偶奇、確率漸化式)

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第4弾:ピリピリする受験生を成功に導くために親がすべき7つのこと

第5弾:合格しない人から合格する人になれるイメージ戦略

 

2004年確率の問題の解説

 

今日も行きましょう。2004年の確率です。

 

文系はこちら

 

理系はこちら

 

(1)は全く同じ。

(2)は、文理で少し違います。

文理で求める色の並び方が少し違います。

そして、文系は奇数番だけの確率を求める問題、理系は偶奇の指定がありません。

 

だとしても、大きな違いはありません。設定もほとんど同じ。いつも通り、文系にはヒントが少し多め、理系は難易度が少し高めという違い程度です。

2012年とほとんど同じ問題

では、解説ですが、ぜひとも昨日の記事(2012年の問題)と見比べながらご覧くださいませ。

 

2012年の問題のポイントは

①対称性で複数の状態をまとめる

②偶奇で場合を分ける

③遷移図を描いて確率漸化式を立てる

の3つでした。

 

これが全て登場するのが、今回の2004年の問題です。これは、もはや類題と言って良いレベル。非常に似ています。

 

一つずつ検証していきましょう。

 

対称性で複数の状態を一つにまとめる

まず面倒なので、白をW、黒をBと表記させてください。(WhiteとBlackです)

 

そして操作によって、8つの状態に分かれます。

①WWW

②BWW

③WBW

④WWB

⑤BBW

⑥BWB

⑦WBB

⑧BBB

この8つです。

8つの状態があると考えると、8つの種類の遷移図と漸化式を立てることになるのですが、8つの漸化式は解く気になりません。

 

そこで、今回のポイント

「対称性を利用して複数の状態を一つにまとめる」を使います。(くどいですが、2012年と同様)

よく考えると、

②③④は、W2つ、B1つという点で同じ

⑤⑥⑦は、W1つ、B2つという点で同じです。

 

ということで、これで4つの状態にまでまとめられました。

A:「WWW」

B:「BWW」「WBW」「WWB」

C:「BBW」「BWB」「WBB」

D:「BBB」

 

偶奇の場合に分けて考える

次に、2つ目のポイント、「偶奇の場合に分けて考える」を使います。

先ほどわけたABCDの4つの状態のうち、

AとCは偶数回の操作後

BとDは奇数回の操作後

に発生する状態です。

 

文系の(2)の問題は、奇数回の操作後にBになる確率を求めればよいという問題ですから、

BとDの間で遷移図や漸化式を立てればよいことになります。

 

遷移図を描いて確率漸化式を立てる

最後に三つ目のポイントです。

確率漸化式の定番、遷移図を描く問題です。

 

先程、BとDにおいての関係性が見えましたので、この画像のように計算してください。

 

もし、偶奇の関係性が見えなくても、ABCDの遷移図を描いて、4本の確率漸化式を立てても大丈夫です。

 

では、手書きの解答の全体をどうぞ。

 

※別解として、樹形図などの方法も載せてあります。

 

まとめ

2012年の問題と同様に3つのポイント

①対称性で複数の状態をまとめる

②偶奇で場合を分ける

③遷移図を描いて確率漸化式を立てる

がドハマりする問題だったのがお分かりでしょうか。

 

このタイプの問題が、東大確率の王道であり、最も汎用性の高い問題パターンです。

なんと、明日もほとんど類題と言える問題をアップします。

 

東大に受かりたければ、このパターンは必ず押さえるべきでしょう。

では、明日もお楽しみに。

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