2008年 東大数学 文系第2問 理系第2問(対称性、偶奇、確率漸化式)

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第4弾:ピリピリする受験生を成功に導くために親がすべき7つのこと

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2008年確率の問題の解説

 

今日は2008年の確率です。

 

文系はこちら

 

 

 

理系はこちら

 

文系(2)と理系(1)が同じ。

文系(1)は、文系(2)につながる誘導としての問題が設置。

理系(2)は、カードの数が増えて設定が複雑になった問題です。

 

とは言っても、いつも通り設定はほとんど同じ。理系(2)もそれほど複雑になったわけではなく、少し違う程度でしょう。

2012年、2004年とほとんど同じ問題

まずは大事な結論から。

2012年と2004年の問題とほとんど同じ類題です。ぜひ、2012年の解説と、2004の解説も続けて読んでほしいと思います。

 

そして、2012年、2004年の問題のポイントは

①対称性で複数の状態をまとめる

②偶奇で場合を分ける

③遷移図を描いて確率漸化式を立てる

の3つでした。

 

今回も、全てこれが登場します。見ていきましょう。

 

対称性で複数の状態を一つにまとめる

まず、いつも通り、対称性に注目して複数の状態をまとめてみましょう。

 

今回は、全部で5つの状態が存在します。

①WWBB

②WWWB

③WBBB

④WWWW

⑤BBBB

 

しかし、ポイントである「対称性を利用して複数の状態を一つにまとめる」を使うことによって、このうち、②③がまとめられ、④⑤がまとめられます。それぞれ、等確率で発生するから、つまり確率の対称性があるからです。

 

結局、

X:WWBB

Y:WWWB か WBBB

Z:WWWW か BBBB

の3つに集約されます。

——————-

理系(2)の場合、カードの数が白3枚、黒3枚の計6枚になります。

すると、

X:WWWBBB

Y:WWBBBB か WWWWBB

Z:WBBBBB か WWWWWB

W:BBBBBB

の4つの状態に集約されます。

——————-

 

偶奇の場合に分けて考える

次に、2つ目のポイント、「偶奇の場合に分けて考える」ですが、2004年、2012年と同じように、偶数と奇数の場合にしか登場しない状態を考えます。

 

すると、

偶数の時、XとZ

奇数の時、Y

が登場することがわかります。

 

文系(2)と理系(1)の問題では、Zになる確率を求めるので、nが奇数の時の確率は0になります。

 

遷移図を描いて確率漸化式を立てる

最後に三つ目のポイント。確率漸化式の定番、遷移図を描きましょう。

 

文系(2)と理系(1)の問題ならこれ

 

 

 

理系(2)ならこれ

 

 

このように遷移図を描いて、漸化式を解けばOKです。解き方はいつも通り。

ということで、手書きの解答の全体をどうぞ。

 

 

まとめ

2004年、2008年、2012年は動揺に3つのポイント

①対称性で複数の状態をまとめる

②偶奇で場合を分ける

③遷移図を描いて確率漸化式を立てる

だけでOK。これさえ覚えれば、ほとんど問題の設定を読み切ったも同然です。

 

何度もでも言いますが、東大に受かりたければ、このパターンは必ず身に付けること。

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