2010年東大文系数学（第3問）・理系（第3問）入試問題の解答（答案例）・解説（はじめの１手で場合分け、遷移図、樹形図）

 

２０１０確率の問題の解説

今日は２０１０年の確率の問題（ちょっと難しめです）   文系の問題  

理系の問題は

 
今回も設定自体は文理ともに同じですが、理系には（３）が加えられています。

２つの情報を１つへ

とにかく、設定が分かりづらい。 問題文を読むと、何となく言っていることがわかりますが、よくこれだけややこしく書けるなところ思うくらい、ややこしい。 ｘとｚの違いも分かりづらいし、ｙって何？って思いますし、恐らく問題文で何を言っているか分からず、１文字も書けずに終わった人も多いのではないでしょうか？   一応書いておくと、ｘというのは、はじめにＬに入っているボールの数です。これに対し、ｚは、途中でＬに入っているボールの数なので、操作を行うたびに変わります。 但し、ｘ＝３の時と、ｘ＝２２の時では（つまり、始めのボールの数によって）その後に全く違うことが起ります。なので、ｘの数によって場合を分けながら樹形図や遷移図を描かなければなりません。 ｙというのは、漸化式を作った時にカッコの中に現れる数のことなので、解いてみないとわかりません。   と、文字の意味を読み解くだけでも一苦労。 ということで、やはり情報をいかに整理していくかがポイントなのです。    
そこで今回ご紹介したい方法は、２つの情報を一つにするというもの。 この問題では、箱Ｌと箱Ｒが登場し、合計のボールの数が３０個です。この合計３０個というのがポイントです。なぜなら、箱Ｌのボールの数が分かれば、箱Ｒの数が分かる。逆もしかり。 つまり、２つの箱のボールの数を追わなくてよくて、一つの箱のボールの数だけ追っていれば良いのです。 よって、僕の解答では、箱Ｌのボールの数だけを記述に残しています。   これは数学では非常によく出る問題です。 例えば、「長方形の周の長さが２０ｃｍ」と言われたときに、 ①横をｘ、縦を１０－ｘとおく ②横をｘ、縦をｙとおき、ｘ＋ｙ＝１０と立式する のどちらで進めても解けるのと同じです。   ２つの文字を設定するか、１つで済ませるか、場合に応じて使い分けるのですが、今回のように複雑な設定で、ややこしい情報が多い場合は、なるべく情報量を減らす方が良いでしょう。  

遷移図を描く

では次に、複雑な問題の設定にいきましょう。 ０≦ｚ≦１５とか、Ｐ（ｚ）とか、色々書いてあって複雑ですね。これを読み解くのが大変なのですが、東大の確率の問題はこれこそが問題の山場なので、時間をかけて解き明かしましょう。   すると、このような遷移図にまとめられます。
 
2010年東大数学　文理系第3問　樹形図_000060
   
遷移図は非常に情報量が多い図なので、色々言われてて複雑だった問題文も、たったこれだけの図で表せるのです。  
ここまで情報を整理したら、次は樹形図です。１手目で分岐する樹形図は通常、遷移図を描いたらすぐに漸化式が立てられるんですが、これで立てられないのが、この問題の難しいところ。なんと、遷移図に加えて、樹形図も書かなければならないのです。   そこで１手目からの樹形図を描くと、このようになります。

まずは、０≦ｘ≦１５の時です。
 
2010年東大数学　文理系第3問　確率１_000061
   
始めの操作で表が出た場合、Ｌのボールの数が２ｘになります。 そこで、発想を少し変えます。 最初の１回を無視して、２～ｍ回をまとめるのです。すなわち「はじめにＬに２ｘ個のボールが入ってる状態から初めて、ｍ－１回の操作後にＬに３０個のボールが入っている確率」を求めるわけです。 操作の回数はｍ－１回、最初のボールが２ｘ個だから、Ｐｍ－１（２ｘ）とあらわせます。     次に青い方ですが、１回目の操作で裏が出ると、ボールが０個になりますが、その後、どんなコインの出方があってもＬのボールは０個のままです。つまり、Ｌに３０個のボールが入る確率は０。   ということで、上の図のような確率になるのです。   次に、１６≦ｘ≦３０の時ですが、先ほどと同様に、このような樹形図になります。

2010年東大数学　文理系第3問　確率２_000062
   
上の赤い枠内は、１回目の操作で表が出て、Ｌのボールが３０個になった場合以降です。 これは、必ずｍ回の操作後にＬのボールが３０個になりますので、確率は１   下の青い枠内は、 「最初のボールが２ｘ－３０個で、ｍ－１回の操作後にＬのボールが３０個になる確率」ですので、Ｐｍ－１（２ｘ－３０）となります。   よって、Ｐｍ（ｘ）が上の図のように求められます。   それにしても、あまり言いたくないですが、赤本などの解説は、わかってる僕が読んでも何が書いてあるかよくわからないんですよね。もっとわかりやすく書こうと思って書いたのですが、お分かりいただけましたでしょうか？  

偶数の漸化式

では、（１）が解けたところで、（２）に行きましょう。 （２）の問題は、Ｐ２ｎ（１０）を求めよということですが、これまた分かりづらい。 日本語に言い換えると、「はじめのＬのボールが１０個だった時、２ｎ回の操作後にＬに３０個のボールが入っている確率」を求めよということです。   ということで、ｘ＝１０の時のボールの数を追っていくのですが、 （１）で求めた漸化式を忠実に使っていくと、あら不思議、確かに２ｎ回（偶数回）の時に、カッコの中が１０になります。  

2010年東大数学　文理系第3問　漸化式_000064
   
あとは、この偶奇の漸化式を解けばＯＫ。  
理系（３）に関しては、周期が４になっただけです。漸化式を何度も代入しますが、（２）と趣旨は全く同じ。   偶奇の漸化式の解き方は、少し工夫が必要ですが、手書きの解答の通りにやってくれれば、どんな場合も大丈夫です。 ということで、全体をごらんくださいませ。

2010年東大数学　文理系第3問　その１_000063
2010年東大数学　文理系第3問　その２_000065

まとめ

今回のポイントは、 ・情報の整理（２情報を１情報へ） ・遷移図 ・樹形図 ・１手目で場合が分かれる ・偶奇（４で割った余り）の場合分け と、とても多い。 かなり難しい問題だと思います。（とにかく問題文を読んで整理するのが難しいです。）   特に、１手目で場合が分かれる樹形図が登場するのが珍しいと思ったかもしれません。 しかし、２０１６年の確率の問題でも登場しています。よろしければご覧ください。

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