２００６年　東大数学　文系第２問　理系第２問（樹形図、途中でイレギュラーが起こる）

 

２００６年確率の問題の解説

昨日は樹形図が大切だという問題を紹介しましたが、今日も樹形図を駆使する問題です。   文系の問題    
理系は
 
今回の設定は文理ともに同じ。 設問は、文系にヒントとなる（２）が挿入されていて、理系にはないというだけの、ほとんどまるごと共通問題みたいな問題です。 文系の問題を見てみると、 ————– （１）Ｐ２を求めよ。 （２）Ｐ３を求めよ。 ————– となってますが、よく考えたら、 ————– （１）Ｐ２とＰ３を求めよ ————– と一つの設問にまとまってるのが普通ですよね。設問が２つに分かれてるのは、理系の問題に挿入したからなのでしょうか？   そんなことはどうでもよいので、解説に入りましょう。  

樹形図で情報を整理

何度も書きますが、東大の確率の問題の最大のポイントは、知らない設定に対して、情報を整理してシンプルに捉えることです。これが出来たら高得点に結びつきます。   そして、情報の整理のために有効な手段が二つ。遷移図と樹形図です。 遷移図に関しては、２０１２年、２００８年、２００４年の３問が勉強するのにちょうどよいでしょう。過去に記事にしています。 樹形図に関しては、前回の１９９９年に引き続き、この問題。   （１）でＰ２を求めるのですが、樹形図を描くとこうなります。

2006年東大数学　文系第2問　樹形図_000040

３本の枝が最後に残り、３通りの確率の和を取れば答えです。  
そして文系（２）では、こんな樹形図。

2006年東大数学　文系第2問　樹形図２_000041

今度は４本の枝が登場するので、４つの和を取ります。  
しかし、ここでポイントになるのは、上から２本目と３本目の確率が同じになるという点。（上の図で②とまとめています。） これに気付くかどうかが、この問題の最大のポイントでした。   ①は×が最初の１回だけ。 ③は×が最初に２連続で出る。   これに対して、②は途中に×が出るというタイプです。 これを僕は「途中にイレギュラーが１回出る」パターンと呼んでいるのですが、ちょっと難易度が上がりますね。  

ｎに一般化する

では、文系（３）理系（２）の問題。Pnを求める問題に行きましょう。   先程のP3の樹形図を参考に３パターンに分けます。

2006年東大数学　文系第2問　並び_000042
 
先程と番号の付け方は同じです。
そして、ポイントは②番。途中のとこかに×が一回出るパターンです。   ここでもヒントになるのは、文系（２）の問題。 P3を求める途中で②番の樹形図が２本出てきましたが、確率が全く同じだったことがヒントです。   この図が、文系（３）のP3の計算です。
2006年東大数学　文系第2問　式_000043

上から２つめと３つめの確率が同じになっているのがわかります。 ｎに一般化しても同じで、結局×が入る場所が何通りあるか確かめればよいのです。   ということで、手書きの解答どうぞ。    

2006年東大数学　文系第2問　全部_000044

まとめ

昨日は樹形図を書くのが難しい問題で、今日は樹形図から一般化するのがポイントの問題です。 いずれにしろ、樹形図を描いて情報を整理するのが非常に有効なのです。

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