2015年 東大数学 理系第1問の解説(通過領域、解の存在条件、包絡線)

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2015年東大理系数学第一問の解説(通過領域、解の存在条件、包絡線)

2015年東大数学入試問題理系第1問解答解説

まずは通過領域をマスターしよう

出ました!!頻出問題の、通過領域です。ただし、入試問題ではよく見ますが、教科書では登場しません。
教科書レベルを超えたテーマとしては、絶対に扱わなければならないテーマでしょう。
受験生は、絶対に身につけて下さい。

ちなみに、このHP上では、通過領域を体系的にマスターしてもらえる記事をアップしています。
通過領域をマスターしよう① 解の配置で解く
通過領域をマスターしよう② すだれ法(ファクシミリ論法)と包絡線
どうぞご覧くださいませ。

包絡線より解の配置

この問題も、包絡線を使って解く事も出来るんでしょうけど、ちょっとやってみたら面倒そうだったので止めました。
昔に比べて、数学の入試問題が簡単になったなんて話もありますが、この問題も解の配置だけで問題が解けてしまいますし、解の配置で解けない問題は存在しないので、解の配置が最優先!

中には包絡線を利用して解くとスッキリ簡単に解ける問題もあるので、身につけるに越したことはありませんが、解の配置をマスターすることが最も重要です。

一応、解の配置よりも包絡線の方が圧倒的に簡単に解ける例を1つ挙げておきます。
「y=2tx-t^2 が、t≧0の範囲で動くときの通過領域を求めよ。」

解の配置で解くときの流れ

ということで、問題文を見た瞬間に、解の配置の問題だと気付くのは良いとして、その後はaで降べきの順に整理しますね。
すると、aの2乗の係数に、xが含まれてるので、aの2乗の係数が0になるか、0にならないかで場合分けをする必要が出ますね。

なぜなら、aの2乗の係数が0だと一次方程式になり、aの2乗の係数が二次方程式になり、解の存在条件の求め方が全く異なるからです。

そして、二次方程式になる時(aの2乗の係数が0出ない時)は、少なくとも1つa>0に解を持たなければならないので、
重解にになるときと、ならないときに分けて、重解にならない時は、1解なのか2解なのかで分けて・・・と、まあ場合分けが面倒くさいです。

しかし、解の配置の問題で、面倒な場合分けを処理させる問題も、これまた頻出のテーマなので仕方ありません。丁寧に式変形を追って下さい。僕も面倒で嫌いです。

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

通過領域の問題は、最後の図示の時に、これまで求めて来た領域がピッタリとパズルのピースを当てはめるように、過不足を補いながら埋まっていくのが、ちょっと気持ち良いですね。
ダブるように、場合分けをしても構わないんですけど、ダブらないように場合分けをすると、最後の図示もダブらずに出てきます。
通過領域の練習問題としてよい問題でした。

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