2018年東大理系数学（第6問）入試問題の解答（答案例）・解説（空間図形、２次不等式、積分、切断面）
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２０１８年 東大理系数学 第6問の解説（空間図形、２次不等式、積分、切断面）
まずはいつも通り問題をどうぞ。
東大理系では昔から空間図形が頻出だと言われています。そして、たまに物凄い難問が含まれます。（一方で、易しい問題もありますが。）
その点で、この問題は実に東大らしい問題だと思いますね。
・空間図形の共通部分
・単なる積分計算で終わらない。
・小問構成。
・基本の組み合わせで解ける。
・空間図形ばかりでなく、別単元の考えも用いる
などなど、よく練られた問題だと思いました。
入試で出題されたら、得点し辛いような気もしますが、これからの受験生にとって練習問題として非常におススメ。
まだ解いていない方は、ぜひチャレンジしてみて下さい。
（１）切断＝次元下がる、移動＝次元上がる
では（１）から見ていこうと思いますが、（１）は図形が共通する条件。実は、この問題が一番重たかったりします。
空間図形の超重要な定石の手段として「切断して平面図形にする」というのがありますが、ここでも非常に効果的です。ちなみに、座標を一つ固定するとか、ｚ＝ｔの平面で考えるとか、全て切断してるのと同じです。
空間図形を切断すると平面図形になりますから、グッと解きやすくなるということです。
ちなみに、切断すると次元が一つ下がり、移動すると次元が上がります。言い換えれば、切断は次元を一つ下げる行為で、移動は次元を一つ上げる行為なのです。
この問題は、球が移動しているので４次元になるかと思いきや、４時限目の時間は固定されている（別に時間の前後を意識しなくて良い）ので、結局３次元の問題です。
ｘｙｚどこの軸で切断する？
次にどの軸で切断するかの判断なのですが、皆さんは何を基準に判断してますか？
今回はＶ１とＶ３の共通部分の体積を求めるのですが、ポイントはどの軸に対して動いているか、を考えること。すなわちＶ１とＶ３の移動に関係ないｙ軸方向で切断するのが良いｙのです。
ｙ軸で切断するということで、ｙ＝ｔを代入してみると、その切断面が円になります。
そりゃそうです。球を切断したら、必ず円になりますから。
最終的に求めるのはＶ１とＶ３の共通部分ですが、いきなりでは難しいので別々に書いて考えるのも良いでしょう。
空間図形は紙に図示するのが難しいからと言って、頭の中で空間図形をイメージして取り組む人が多いですが、紙に描いた方が圧倒的に解きやすくなります。
というか、空間図形の問題の解答力は、紙に書く力とかなり相関があるような気がしますね。
半径で場合分け
さて、ｙ＝ｔの切断面には円が二つ登場するわけですが、同一平面上に書こうとすると半径の大きさが気になるはず。
そこで、半径を場合分けして図を描けば、（１）が解けます。
では、手書きの解答をどうぞ。
（２）円が図形を含む条件＝中心から遠いところを探す
（２）は、（１）の延長の問題です。今度はＶ２が登場しますので、先ほどの図にＶ２を書き込もうとすれば、方針が立ちます。
Ｖ２が、Ｖ１かつＶ３を含むということで、先ほどの共通部分の中で、中心から最も遠い場所を探せば答えが出ます。
円は中心からの距離が等しい点の集合ですから、図形的な処理をする場合、中心からの距離を考えるのがセオリーです。
常に＋不等式＝最大最小問題
さて、ここでは２次不等式が出ますが、２次不等式が常に成り立つ条件ですね。これは最大最小問題にすり替えて解きます。
例えば、「クラス全員が赤点ではない」条件は、「クラスの最低点が赤点ではない」と言い換えられます。
これと同じで、「ｆ（ｘ）≧０が常に成り立つ」条件は、「ｆ（ｘ）の最小値≧０」と同値なのです。
この言い換えは、かなり使えます。頻出ですので、ぜひ知っておきましょう。
（１）よりは解きやすいような気がしますが、突然の２次不等式に驚かないように。
（３）珍しい！ 空間図形×ド・モルガンの法則
次に（３）ですが、結論から言うとド・モルガンの法則を使います。
しかし、この発想が中々出ない方も多いのではないでしょうか？空間図形と絡める問題は非常に珍しいですので、個人的にはとても興味深いと思いました。
どこから連想するかと言えば、やはりＳとＴの定義からでしょうか。
ＳはＶ１の体積で、ＴはＶ１かつＶ２の体積ですが、これだけで全体の体積を求めるということは、Ｖ２の体積とかＶ３の体積、それらの共通部分など、難しいところもＳとＴを使って求められるはず。
この辺りから、集合を発想するのでしょうね。でも難しいなぁ
では、手書きの解答です。
（４）計算のみ！
最後の（４）ですが、（３）まで解けてしまったら、（４）はもらったようなものでしょう。
ＳとＴを求めれば答えが出ます。きっと興奮して手が止まらないのではないでしょうか？
Ｓは簡単に求められます。
ＴはＶ１とＶ２の共通部分ですが、これも慣れていれば簡単。とは言っても、Ｔを求めるだけでもそこそこ難しい問題なんですけどね。（１）と同じように、切断してから図を描けば解けるでしょう。
最後に計算をして終わり。計算ミスが誘発されそうな雰囲気ですので、ご注意を。
まとめ
さて、さいごに一言ですが、ここまで読んできて（１）や（２）が解けなくても、（３）と（４）が解けるのに気づいたでしょうか？
東大は、小問構成の場合が多く、それらが誘導問題になっています。
しかし、（１）が解けなくても（２）が解ける場合も見受けられます。
いつも言っていますが、ペンを持つ前に問題文を最後まで読むこと！
（１）から取り組んで０点だった人も、（３）と（４）で１０点くらいもらえるかもしれません。
（特に（４）のＳを求めるところなら、カンタン！）
こういう、作戦面も含めて練習に良い問題でした。
東大理系を目指すなら、今後必須の問題でしょう。
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