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2015年東大理系数学第四問の解説(漸化式、連立方程式、フィボナッチ数列)

2015年 東大入試数学 理系第4問 解答解説

(1)は簡単

さあさあ、出ましたね漸化式。それも、結構複雑そうタイプ。
問題文の1行目に登場する、分数や二乗が入ってる漸化式なんて、まず見た事ないでしょうし、(1)に登場する漸化式はもっと複雑です。
ただし、(1)はやる事が明確!
「nによらない事を示せ」というのは、「数列の順番が変わっても値は変わらない」ということ、もっと言えば「定数の数列」ということです。
具体的な解法としては、与えられた数列を別の数列に置いて操作するのが、やりやすいでしょう。後でご覧頂く手書きの解答では、問題文の中にpとqが見えるので、その次のrを使ってます。n+1番目とn番目の値が同じだと示せれば、完了です。

 

(2)難しそうで、ただの連立方程式

次、(2)ですが、漸化式を作れという問題。
でも、僕からしてみれば、ただの連立方程式です。式が複数あって、不要な文字を消し、必要な文字だけ残せば自然と答えが出ます。

そして、計算過程で使う方法も、せいぜい代入法と加減法くらいなもの。方程式の解法については、こちらの記事に書きましたので、よろしければどうぞ。
この東大の問題に関してで言うと、問題文の式、(1)で使った式(定数は3でした)の2種類ありますが、求めたい関係式が、Pn-1が登場する関係式ですから、その2種類の式を変形していても絶対に求められません。
よって、使える2種類の式の順番をずらして、n-1が登場するようにしましょう。
手書きの解答には、最短最速で解答が出せる方法かどうかわかりませんが、ストレートな考え方と計算方法を踏まえて、確実に答えが出る解法を載せておきましたので、少しややこしいのかもしれませんが、ご了承下さい。

(3)漸化式の証明 ⇒ 帰納法

さて、最後に(3)ですが、「二つの漸化式が、実は同じ値でした」というのを証明する問題ですね。

pの数列が、実は簡単な漸化式だったといのが(2)の結論でしたが、(3)で登場するqの数列もシンプル漸化式ですから、同じになるというのも、納得かもしれません。
さて、解答の方針ですが、帰納法が一般的でしょうね。
なぜ帰納法という発想になるかと言うと、言おうと思えば様々ありますが、大学受験生ならば
数列とか漸化式とか整数が絡む証明問題は、帰納法を使え!
というくらいの認識で、それほど間違えないでしょう。漸化式と帰納法は非常に相性が良いのです。
さらに、細かい計算過程の方針を言うと、pとqの数列が等しいと言いたいので、どちらかに統一します。
手書きの数列では、qに統一しました。
また、qの数列に統一した後も、順番がバラバラなので、端っこの順番を真ん中に寄せるように変形すると上手く行くでしょう。
さらに愚直な方法として、pとqの数列の一般項を出して比較しても良いでしょう。ということで、手書きの解答の最後の余白に計算して載せておきました。確かに一致しますよ。
ということで、正解を導き出すまでの思考の仕方はこれくらいで良いでしょうから、細かい所は手書きの
解答でどうぞ。

2015年 東大入試数学 理系第4問 解答解説

フィボナッチ数列登場

最後に、(3)で登場したqの数列は、よく見るとフィボナッチ数列ですね。数学オタクの大好物ですが、数学に興味がない人から見ると変人に見られます(笑)
フィボナッチ数列っていうのは・・・と語りだすと、長くなりすぎるので今日はここまで。いずれ、そういう特集で記事をかけたら面白いんですけどねー。

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