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2015年東大理系数学第五問の解説(整数、二進法、コンビネーション)

今日は2015年の理系数学、第5問
シンプルなので、登場した時はそれなりに話題になった問題です
2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

1行の問題。そして、問題の意味は分かりやすいのですが、証明がやたら難しい!!
予備校の講評でも難問題指定されていましたね。
いくつかコメントしていきましょう。

2015年にちなんでる問題

問題の解説ではありませんが、2015年の入試問題だけあって、2015を使っていますね。昔からコテコテの出題パターンです。
(とは言っても、ポイントになるのは、2016が32で割れても、64で割れないということなんですけどね)

次の入試は、2018年の出題ですから、2018にまつわる問題が出るかもしれませんね。
2018=2×1009 で、2017は素数でした。2019は3×673です。
覚えておくと得する!?

コンビネーション抜群!

2015Cmにおいて、mを1から順番に変えていくと、分母と分子がキレイに2で割り切れていくことが分かります。

2015C1=2015は当たり前で奇数として、
2015C2 =2015×2014÷2で、2015×1007
こういう感じでしばらく続けていくと、必ず分母と分子がキレイに2で割り切れてしまいます。

しかし、問題文を読むと、いつかは分子の方が分母より2がたくさん登場して、偶数になるらしい。
ということは、2がたくさん登場する数を探せばよいということで、2015になるべく近い4の倍数、8の倍数、16の倍数、32の倍数・・・と探していきます。

32の倍数が消滅!?

具体的には、2015C4 、2015C8 、2015C16 、2015C32 ・・・と探していくのですが、
32の倍数が初めて登場するはずの1984が、一つ飛び越して64の倍数になっています。

これは、もしかしてm=32が答えなのかも!?
と思って証明を始めていくのが、自然な発想なのではないかと思いますね。

証明が難しい

答え(の候補)は分かったのですが、これを記述しようとすると、かなり難しいです。
中学入試のように、mを32まで一つ一つ代入して計算しても、満点解答になるのですが、あまりにも時間がかかりすぎる。

さきほど書いたとおり、2015Cmの分母と分子がキレイに2で割り切れていくのが、何とか記述出来れば良いのですが・・・
ということで、あまり見た事はないかもしれませんが、手書きの解答のようになります。

但し、この証明難しいのは、2015より一つ上の2016に注目いなければ書けない所です。
2015Cmというと、2015より小さい整数には着目出来るのですが、逆の2016が32の倍数になっているのがポイントです。

これに気付くのは相当大変かと思いますね。
少なくとも、教科書には記述されていない考え方のような気がします。
ということを踏まえて手書きの解答をご覧くださいませ。

2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

合格点を取るためには・・・?

大学入試の数学では、答えはわかってるのに、記述出来ないということが往々にして起こります。この問題もその通りで、答えが32になるのは分かってても、それを証明出来なくて困る問題です。

こういう問題に対して、満点を取れる解答の書き方を学ぶのは大事なのですが、入試の限られた時間の中では、手を出さない方が得策でしょう。

入試というのは、合格点を取る事が目的であって、全ての問題に正面からぶつかる必要はありません。
戦争で言えば、敵を全滅させなくても良い。相手の大将に降伏させれば良いのです。

落としてはならない城がある
という言葉を、大先輩から教えて頂いたことがありますが、まさに入試でも同じ。
僕だったら、32と推論した根拠を解答用紙に書いておいて、証明の方針だけ書いて終わるような気もしますね。

短時間で解けるのが最高ですが、長時間で解ける問題は、罠になり得ます。
この見極めの訓練も非常に大切でしょう。

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