2015年東大理系数学（第5問）入試問題の解答（答案例）・解説（整数、二進法、コンビネーション）

２０１５年東大理系数学第五問の解説（整数、二進法、コンビネーション）
２０１５年にちなんでる問題
コンビネーション抜群！
３２の倍数が消滅！？
証明が難しい
合格点を取るためには・・・？

２０１５年東大理系数学第五問の解説（整数、二進法、コンビネーション）

今日は２０１５年の理系数学、第５問シンプルなので、登場した時はそれなりに話題になった問題です２０１５年東大入試数学　理系第５問解答解説
１行の問題。そして、問題の意味は分かりやすいのですが、証明がやたら難しい！！予備校の講評でも難問題指定されていましたね。いくつかコメントしていきましょう。

２０１５年にちなんでる問題

問題の解説ではありませんが、２０１５年の入試問題だけあって、２０１５を使っていますね。昔からコテコテの出題パターンです。（とは言っても、ポイントになるのは、２０１６が３２で割れても、６４で割れないということなんですけどね）次の入試は、２０１８年の出題ですから、２０１８にまつわる問題が出るかもしれませんね。２０１８＝２×１００９　で、２０１７は素数でした。２０１９は３×６７３です。覚えておくと得する！？

コンビネーション抜群！

２０１５Ｃｍにおいて、ｍを１から順番に変えていくと、分母と分子がキレイに２で割り切れていくことが分かります。２０１５Ｃ１＝２０１５は当たり前で奇数として、２０１５Ｃ２　＝２０１５×２０１４÷２で、２０１５×１００７こういう感じでしばらく続けていくと、必ず分母と分子がキレイに２で割り切れてしまいます。しかし、問題文を読むと、いつかは分子の方が分母より２がたくさん登場して、偶数になるらしい。ということは、２がたくさん登場する数を探せばよいということで、２０１５になるべく近い４の倍数、８の倍数、１６の倍数、３２の倍数・・・と探していきます。

３２の倍数が消滅！？

具体的には、２０１５Ｃ４　、２０１５Ｃ８　、２０１５Ｃ１６　、２０１５Ｃ３２　・・・と探していくのですが、３２の倍数が初めて登場するはずの１９８４が、一つ飛び越して６４の倍数になっています。これは、もしかしてｍ＝３２が答えなのかも！？と思って証明を始めていくのが、自然な発想なのではないかと思いますね。

証明が難しい

答え（の候補）は分かったのですが、これを記述しようとすると、かなり難しいです。中学入試のように、ｍを３２まで一つ一つ代入して計算しても、満点解答になるのですが、あまりにも時間がかかりすぎる。さきほど書いたとおり、２０１５Ｃｍの分母と分子がキレイに２で割り切れていくのが、何とか記述出来れば良いのですが・・・ということで、あまり見た事はないかもしれませんが、手書きの解答のようになります。但し、この証明難しいのは、２０１５より一つ上の２０１６に注目いなければ書けない所です。２０１５Ｃｍというと、２０１５より小さい整数には着目出来るのですが、逆の２０１６が３２の倍数になっているのがポイントです。これに気付くのは相当大変かと思いますね。少なくとも、教科書には記述されていない考え方のような気がします。ということを踏まえて手書きの解答をご覧くださいませ。
2015年東大数学　理系第５問_000102

合格点を取るためには・・・？

大学入試の数学では、答えはわかってるのに、記述出来ないということが往々にして起こります。この問題もその通りで、答えが３２になるのは分かってても、それを証明出来なくて困る問題です。こういう問題に対して、満点を取れる解答の書き方を学ぶのは大事なのですが、入試の限られた時間の中では、手を出さない方が得策でしょう。入試というのは、合格点を取る事が目的であって、全ての問題に正面からぶつかる必要はありません。戦争で言えば、敵を全滅させなくても良い。相手の大将に降伏させれば良いのです。落としてはならない城があるという言葉を、大先輩から教えて頂いたことがありますが、まさに入試でも同じ。僕だったら、３２と推論した根拠を解答用紙に書いておいて、証明の方針だけ書いて終わるような気もしますね。短時間で解けるのが最高ですが、長時間で解ける問題は、罠になり得ます。この見極めの訓練も非常に大切でしょう。

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