２０１９年 東大数学 理系第３問（１） （空間図形、平面で切断）
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２０１９年 東大数学 理系第３問
出ました、空間図形。
東大では毎年頻出のテーマです。
去年の空間図形（第６問）は非常に難しかったですが、今年もなかなかの難易度です。
そして、苦手にする人が多いということで、３回に分けてアップしていきます。
丁寧にわかりやすく解説するので、長くなりますがお付き合いくださいませ。
さっそく見ていきましょう。
空間図形は、ほぼ必ず切断する。
まずは、空間図形の問題そのものの考え方から行きましょう。
平面図形は考えやすいけど、空間図形になると苦手という方がいますが、
それ、恐らく人類全体の悩みですよ（笑）
平面に比べて情報量が多いし、
そもそも平面に描かれた問題文という活字から、実物しない空間図形をイメージして取り組むわけですから、解きやすいわけがない。
この時に役立つのが、切断です。平面で空間図形を切断します。
受験数学において、「切断とは次元を落とすこと」です。３次元の空間図形も、切断すると２次元の平面図形に早変わり。
すると計算用紙（２次元）にも正確に描けて、考えやすくなる、という寸法なのです。
平面との共有点はどうなる？
では、平面で空間図形を切断するとどうなるか。
切断が苦手だという人も多いのですが、ここで使うのは２つだけです。
・平面と直線の共有点は、点。
・平面と平面の共有点は、直線。
この、２つの簡単な事実をもとに考察します。
ちなみに、当たり前すぎて、上に含めませんでしたが、
・互いに平行でない２つの平面は必ず交わり、共有点が直線（交線という）になる。
・互いに平行でない直線と平面は必ず交わり、共有点が点になる。
というのも、大事ですよ。
もう少し応用して、（イメージしながら読んでください）
・平面αと平面βが平行な時、どちらにも平行でない別の平面との共有点（交線）は、互いに平行である。
なんかもよく使いますけどね。
ただし、どれも別に難しいことではありません。ちゃんと図を描きながら条件を整理すれば、当たり前のことばかりです。
（１）ｙ＝０の切断面① 四角形が登場
では、（１）の解説に入ります。
とりあえず、正八面体をｘｙｚ平面上に描いてみましょう。ちょっと複雑ですが、書かないよりはイメージできると思います。
（八面体の辺は赤色、ｙ＝０の切断面は青色で登場します。）
今回は、ｙ＝０の平面での切断を問いている問題ですから、ｙ座標が０の点を調べます。
すると、ＰＡＥＣの四点が出てきますね。
ここで注目したいのは、ＰとＡ、ＡとＥ、ＥとＣ、ＣとＰが全て正八面体の辺だということです。つまり、ｙ＝０で切断したときに、他の点を考慮しなくてよいということです。
ということで、ｙ＝０の図示では、四角形ＰＡＥＣを描けばＯＫ。座標も全て問題文に書いてありますから、そのままｚｘ平面に書き込めばすみます。
（１）ｙ＝０の切断面②直線と平面の共有点は点
次に、平面αとｙ＝０の共有点の図示に参りましょう。
ここで大事なのは、平面αも、ｙ＝０も平面ですから、書き込む図形は「直線」です。ｙ＝０の中に、どのように書き込めばよいか考えながら、進みます。
平面αの定義を考えると、「点Ｍと点Ｎを通り、直線ＡＥに平行」です。
点Ａと点Ｅは、先ほど言った通り、ｙ＝０の上の点ですから、そのまま答えの図に登場します。
しかし、点Ｍと点Ｎはｙ＝０の上にありませんから、答えの図にＭとＮは登場しません。
そこで、直線ＭＮとｙ＝０の交点を考えます。
と言っても、Ｍ（１，１，０） Ｎ（１、－１、０）ですから、中点がｙ＝０にあるのがすぐにわかってラッキー。
その中点をＬとおくとＬ（１、０、０）が、直線ＭＮとｙ＝０との交点であり、答えの図に書き込む点です。
ここでも、「平面と直線の共有点は、点」を使いました。
（１）ｙ＝０の図を描いてみよう。
では、平面αを、実際にｙ＝０に書き込んでみます。
するとこうなりますね。
（今後、平面αは緑色で登場します）
書き込んでみると、結構簡単♪
なにせ、点Ｌを通り、直線ＡＥに平行な直線を求めるだけですから。
ということで、四角形ＰＡＥＣも、同じ図に書き込むと、こうなります。
平面αは、辺ＰＣと交わるか、辺ＰＡと交わるかが分からないので、場合分けをします。
ただし、これも図示してみようとすると、当然生じる疑問なので、難しくありません。（というか、場合分けをしないと描けない）
一応、（１）の答えの全体像をお見せしておきましょう。
（１）はこれで終わり。では、明日は（２）の解説に行きますね。
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