2019年東大文系数学（第2問）入試問題の解答（答案例）・解説（絶対値の外し方、領域図示、傾きに注目）
２０１９年 東大数学 文系第２問
今日は、文系第２問です。 なにやら複雑そうな問題ですが、一つ一つ解読していきましょう。
問題文で分かるものは、どんどん求める。
問題文を読むと、不思議な直線ｌの定義があります。なぜこういう記述をしたかよくわかりませんが、とにかく簡単なので求めてしまいましょう。ｘ＋ｙ＝４です。 次に、条件１において、ベクトルの内積が登場していますが、点Ａも点Ｐも、問題文中に成分が定義されていますから、そのまま計算してしまいましょう。２ｘ＋２ｙですね。 すると、８≦２ｘ＋２ｙ≦１７ですから、辺々２で割って、直線の帯になる領域が得られます。 また、条件２において、点Ｏと直線ｌの距離ｃも簡単に求められちゃいます。 点Ｏはもちろん（０，０）ですし、直線ｌはｘ＋ｙ＝４ですから、点と直線の距離の公式を遣ったら、ｃ＝２√２と求められます。 とこのように、なんかよくわからないうちに、色々な値が計算できてしまいます。 このようなものは、正確に計算するだけで部分点が（わずかながらでも）もらえますから、一気に計算してしまいましょう。 このブログでは、「手を動かす前に通読しろ！」という主張をいつもしていますが、このレベルの簡単な値であれば、むしろすぐに求める方が賢いでしょう。 具体的な値が分かった方が、見通しがよくなることが多いからです。
点と直線の距離の絶対値の外し方
さて、具体的に数字がわかる部分は、上で全て計算しましたから、他の部分に行きましょう。 ｄに関しては、点Ｐの座標が（ｐ、ｑ）ですから、具体的な数字になるわけがありません。考えても仕方ないので、これも計算してしまいます。 すると、分子に中身が文字式の絶対値が登場します。 ｜ｐ＋ｑ－４｜ですが、この絶対値の外し方をご存じでしょうか。 一番簡単なのは、右辺ごと２乗してしまうことですね。ただ、この場合は次数が上がってしまうので、常におススメする方法ではありません。 他には、場合分けをする方法ですね。当然、中身が正の時はプラスで外し、中身が負の時はマイナスをかけて外します。 これは、必ず外れるので、通常使う方法なのですが、場合分けが出てきて面倒です。 最後は、直線と点の位置関係を見る方法です。 点と直線の距離の公式の分子は、点を直線の式に代入したものになっています。 だから、点が直線より上にあるならプラスで外し、点が直線より下ならばマイナスで外す、という方法が有効です。 今回の問題は、点Ｐが直線ｌより上にあるか、下にあるかは不明なのですが、条件１の結果の式をよく見ると、絶対値の中身が正になる条件が得られます。 つまり、（条件１）かつ（条件２）の論理を考えると、絶対値が外れてしまうのです。 これを深堀して言うと、点Ｐは常に直線ｌより上側にあることが、結果的にわかるということですね。 ちなみに、点Ｐと直線ｌの位置関係が分かったところで、この問題を解くには不要な情報なのですが、知っておくと得する問題もあります。
領域Ｄを図示して、面積を計算
分かったところで、領域Ｄを図示してみましょう。直線と放物線の位置関係を注意して、共有点を求めつつ図示しましょう。 また、面積計算は、東大で頻出（というか、ほぼ必ず使う）１／６公式を利用すれ ば、簡単です。 とりあえず、ここまで手書きの解答をどうぞ。 
「ｃｏｓΘの範囲を求めよ」の背景とは？
さて、（２）に行きましょう。ＯＰとｘ軸のなす角Θに対して、ｃｏｓΘのとりうる値の範囲を求めよ、という問題です。 これはｓｉｎやｔａｎではダメです。なぜなら、Θの範囲を考えると、０＜Θ＜πの範囲なので、ｓｉｎやｔａｎでは、同じ角度が２つ登場してしまうからです。 さて、このような場合に考えることは何でしょう。傾きです。 このような問題のタイプは「線形計画法」などと言われますが、領域の共有点の問題と見せかけて、「傾きに注目する」問題です。 領域Ｄと共有点を持つような直線を求めて、その時のｃｏｓΘを求めるという流れを踏まえれば答えになります。 ということで、手書きの解答はこちら。 
まとめ
今年の問題の特徴なのですが、方針自体は簡単に立つのに２０点取るために必要な計算量が多い問題が目立ちました。 理系もそのような印象でしたし、計算量が多い問題を求めるのは、今に始まったことではなく、少し前から求められてきた能力です。 計算力は、幼少期の訓練が重要。 そうなると、中学受験の相対的位置づけが大事になる気がしますね。
敬天塾作成の解説
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