2019年東大理系数学（第3問）入試問題の解答（答案例）・解説（３）（空間図形、平面で切断、射影）
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２０１９年 東大数学 理系第３問（２）
では、（１）の解説、（２）の解説に引き続き、（３）に行きましょう。
今度はｘ＝０に射影する
（１）と（２）ではｙ＝０に射影しましたが、今度はｘ＝０に射影する問題ですね。座標平面上で（ｙ、ｚ）となっていて、ここから読み取れます。
ということは、（２）の答えを出すときに描いた図が、とても役立ちます。
再掲しましょう。こちら。
ちょっと見づらいですが、①～⑤の５つの交点があり、①と⑤は青色（ｙ＝０上で）の交点、②～④は赤色（ｙ＝０上にない）交点でした。
この図Ａをｘ＝０に射影して、ｙ≧０かつｚ≧０の部分の図を描けばよいという問題です。
解答を描く際には不要なのですが、分かりやすい解説のために、ｚｙ軸全体で図を描いてみました。①～⑤を射影した点を①’～⑤’としています。
ほら、確かに八角形でしょう。（本当の断面ではなく、射影後なのですが）
このうち、第１象限の部分だけ取り出して、面積を求めれば答えです。
射影前の座標を求めて、射影する
では、第一象限の面積を求めていきましょう。
そのためには、③’、④’、⑤’の座標が分からなければなりません。ということで計算を進めていきましょう。
まずは⑤’ですが、（２）の答えの図を使って求めます。
まずは⑤．
この図において、⑤の点はｙ＝０上にありますから、射影後のｙ座標も０（確かに八角形のてっぺんにあります）
ｚ座標に関しては、直線の交点として求めればよいので、直線ＣＰと、平面αを連立して求めてください。
次に④ですが、ｙ座標がわかりません。ｙ＝０でないことだけはわかってますが、具体的な値は不明。
よって、面倒ですが、ベクトルの直線の方程式を使って求めます。
最後③は、ほとんど計算が要りません。なぜなら、③は点Ｍ（Ｎ）そのものだからです。（平面αは辺ＡＢと辺ＡＤにおいて、中点Ｍ（Ｎ）を通るというのが定義です）
つまり、Ｍ（１，１，０）をｘ＝０に射影して（ｙ、ｚ）＝（１，０）です。
これを書き込んだら、あとは面積を計算するだけ。別に難しいところはないので、一気に手書きの解答をご覧ください。
（１）からの分全てを掲載します。
いやいや、それにしても難しい問題でしたね。
空間図形の問題って、解説記事を書くのにめちゃくちゃ時間がかかるんですが、今回のは最長記録だったと思います。
実際は、中学生の計算だけで解けてしまうところが、またいやらしい問題。さすがの東大クオリティだったと思います。
射影や空間図形の話題は苦手にする人がとても多いので、ぜひよく復習してください。
では、明日からは、通常通り１日１問のペースに戻します。
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