2019年 東大数学 理系第3問(3) (空間図形、平面で切断、射影)

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2019年 東大数学 理系第3問(2)

では、(1)の解説(2)の解説に引き続き、(3)に行きましょう。

今度はx=0に射影する

(1)と(2)ではy=0に射影しましたが、今度はx=0に射影する問題ですね。座標平面上で(y、z)となっていて、ここから読み取れます。

ということは、(2)の答えを出すときに描いた図が、とても役立ちます。

再掲しましょう。こちら。

ちょっと見づらいですが、①~⑤の5つの交点があり、①と⑤は青色(y=0上で)の交点②~④は赤色(y=0上にない)交点でした。

この図Aをx=0に射影して、y≧0かつz≧0の部分の図を描けばよいという問題です。

解答を描く際には不要なのですが、分かりやすい解説のために、zy軸全体で図を描いてみました。①~⑤を射影した点を①’~⑤’としています。

 

ほら、確かに八角形でしょう。(本当の断面ではなく、射影後なのですが)

 

このうち、第1象限の部分だけ取り出して、面積を求めれば答えです。

射影前の座標を求めて、射影する

では、第一象限の面積を求めていきましょう。

そのためには、③’、④’、⑤’の座標が分からなければなりません。ということで計算を進めていきましょう。

 

まずは⑤’ですが、(2)の答えの図を使って求めます。

まずは⑤.

この図において、⑤の点はy=0上にありますから、射影後のy座標も0(確かに八角形のてっぺんにあります)

z座標に関しては、直線の交点として求めればよいので、直線CPと、平面αを連立して求めてください。

 

次に④ですが、y座標がわかりません。y=0でないことだけはわかってますが、具体的な値は不明。

よって、面倒ですが、ベクトルの直線の方程式を使って求めます。

 

 

最後③は、ほとんど計算が要りません。なぜなら、③は点M(N)そのものだからです。(平面αは辺ABと辺ADにおいて、中点M(N)を通るというのが定義です)

つまり、M(1,1,0)をx=0に射影して(y、z)=(1,0)です。

 

これを書き込んだら、あとは面積を計算するだけ。別に難しいところはないので、一気に手書きの解答をご覧ください。

(1)からの分全てを掲載します。

 

 

 

いやいや、それにしても難しい問題でしたね。

空間図形の問題って、解説記事を書くのにめちゃくちゃ時間がかかるんですが、今回のは最長記録だったと思います。

実際は、中学生の計算だけで解けてしまうところが、またいやらしい問題。さすがの東大クオリティだったと思います。

射影や空間図形の話題は苦手にする人がとても多いので、ぜひよく復習してください。

では、明日からは、通常通り1日1問のペースに戻します。

 

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