2019年東大文系数学（第3問）入試問題の解答（答案例）・解説（確率、多角形グルグル、道順、中学受験で解ける）

２０１９年　東大数学　文系第３問

では、今日は文系第３問です。復活した確率の問題。

確率の問題は、設定の読み込みに１０分かけても良い

東大の確率だなぁっていう問題。 知らない設定が登場し、読み込んでカラクリを解き明かすのに時間がかかる。 複雑な場合分けが登場し、立式までに時間がかかる。でも計算はそれほど面倒ではない、といったところ。   ということで、うちの塾では「確率の問題が出たら、１０かけてよいから設定の読み込みをせよ」と教えています。   さて、今回のカラクリやいかに！？

（１）は簡単。

（１）は簡単ですね。１０回コインを振って、またＡに戻ってくるという問題です。 １周するかどうか、１周するとしたら、右回りなのか、左回りなのか、という場合分けになりますが、これは簡単に理解できるでしょう。 これは受験生ならば解けなければならない問題ですね。解説は割愛。手書きの解答をご覧くださいませ。

（２）は場合分けが複雑

次は（２）の問題なのですが、これはかなり複雑です。 Ｔ「Ｆに少なくとも１回立ち寄る」という条件が加わりますが、これを処理するためには、複雑な場合分けが必要です。   版時計周りだとしたら、５回目にたどり着くか、７回目にたどり着くか。でも７回目にたどり着くとき、５回目にはＦに移動してちゃいけないから・・・。 などと考え始めると、混乱してしまいます。   実際は、文系受験者にとって、これはかなり難しかったのではないかと思いますね。恐らく（１）だけ解いて、（２）は０点のような答案が多いのではないだろうかと思います。

ビジュアル化①　マス目を作る

予備校の模範解答では、場合分けを駆使して解いているものがありましたが、僕が読んでもあまり意味がわからない解答だったので、分かりやすさを重視して、２つビジュアル化した解答を用意しました。 （といっても、受験生が時間内にこれを思いつくかどうかは、微妙なのですが）   一つ目は、下のようなマス目を作って、道順の移動で考える方法です。   スタートのＡの位置から、①～⑤のどこかの点（Ｆ）を通り、⑥～⑧の点（Ａ）に辿りつくという場合分けです。 このようにマス目を作ると、一気に見やすくなりますね。今回は正八角体をグルグルする問題でしたが、多角形をグルグルする問題は良く出ますから、他の場合にも使ってみてください。 ※ただし、①～⑤は「初めてＦに到達する」という条件の下で場合わけします。   これで場合分けができますので、あとは計算して終わりとなります。

ビジュアル化②　中学受験方式

次は、中学受験で習う方式で計算するものです。 普通、このような道順の問題の場合、コンビネーション（ｎＣｒ）で計算するのが一般的ですが、パスカルの三角形を利用して、足し算を繰り返す方法もあります。   まずは、通れない道をすべて消して、通れる道だけを残します。 そして、ある点に対し、一つ前タイミングにいる点の数字を２つ足しながら、ゴールにたどり着くのです。 すると、ゴールへの生き方が２０６通りになります。   あとは、２＾１０で割って、（１）の答えから引けばＯＫ。   ということで手書きの解答をご覧くださいませ。 場合分けが難しいのですが、工夫をすると簡単になるというのも東大っぽい。 多角形グルグル問題は、このマス目の作り方を覚えておくと使えますよ。  

敬天塾作成の解説

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