2019年東大理系数学（第4問）入試問題の解答（答案例）・解説（整数、最大公約数、ユークリッドの互除法）
目次
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２０１９年 東大数学 理系第４問
では、今日は理系第４問です。
（１）は東大らしく、ユークリッドの互除法
（１）から早速、東大らしさが全開の問題です。
大好物の「最大公約数」の問題。当然「ユークリッドの互除法」を使います。
「当然」と書きましたが、「え？そうなの？」という人のために少し書いておくと、新課程になり「ユークリッドの互除法」が指導範囲内になった瞬間から、東大では超頻出問題になりました。
過去問を参照すればわかります。
キーワード「最大公約数」から連想しよう
また、「最大公約数」というのも、超キーワード。
最大公約数に関連する問題は、主に２パターンしかありません。
一つ目は「ユークリッドの互除法」を利用するパターン。
もう一つは、最大公約数をｇ、最小公倍数をｌを置き、４式１条件を作るパターンです。
具体的には、ａとｂの２整数に対して
・ａ＝ａ’ｇ （式①）
・ｂ＝ｂ’ｇ （式②）
・ｌ＝ａ’ｂ’ｇ （式③）
・ａｂ＝ｇｌ （式④）
・ａ’とｂ’は互いに素 （条件①）
という、４式と１条件です。
これを色々いじって求めるパターンもあります。
ただし、東大で「最大公約数」が登場したら、まず「ユークリッドの互除法」を疑ってよいでしょう。それくらい偏って頻出です。
（１）は瞬殺！
では、（１）に互除法を利用してみましょう。
すると、簡単にｎ＾２＋１と、４の最大公約数を考えればよいことが分かります。
４には約数が１と２と４しかないので、ここで３択です。
また、素因数が２だけですから、２の剰余類で場合分けするのも自然な発想。
ということで、偶数（２の倍数）と奇数（２の倍数でない）で場合分けをすると答えです。
とても自然な流れで答えが出ました。
（２）平方数の処理
次は（２）
さっき、最大公約数を求めた２数が、掛け算されていますね。そして、全体が整数の２乗にならないことを示せというもの。
ここで登場した、「整数の２乗で表せる数」のことを「平方数」と言います。
さて、２つの数の積が平方数になためには、どのような条件が必要でしょうか。
教科書や、参考書ではあまり類題を見たことがないでしょうから、受験生にとっては難しかったと思います。
ここでは、
補題「互いに素なｘとｙについて、ｘｙが平方数⇔ｘとｙがともに平方数」
という性質を使って解説しようと思います。
偶数の場合
（１）の結論として、偶数と奇数で場合分けをしたので、（２）でも場合分けをしましょう。（誘導に乗ります）
ｎが偶数の場合、命題①により２数はともに平方数となりますから、
ｎ＾２＋１も、５ｎ＾２＋９も平方数となるはずです。
しかし、ｎ＾２＋１は絶対に平方数になりません。
手書きの解答では、ちょっと「ウマイ」方法で解説を書きました。
これなら、２行くらいで証明できるので簡単です。但し「ヒラメキ」に頼った解法に見えてしまうかもしれないので、もう一つご紹介します。
例えば、ｎ＾２＋１＝ｋ＾２（ｋは整数）とおいて、ｋが存在しないことを示す、という方針でも良いと思います。
このとき、ｎ＜ｋであり、（ｎーｋ）（ｎ＋ｋ）＝１ と因数分解できます。
しかし、１というのは、１×１か、（－１）×（－１）しか、積の候補がありません。
だから、ｎーｋ（小さい数）と、ｎ＋ｋ（大きい数）の積が１になることはありません。
よって、このようなｋは存在せず、ｎ＾２＋１は平方数でないことが示せます。
最大公約数だから、４式１条件を作ろう
では、難しそうな奇数の場合。
と言っても、実は基礎の積み重ねで解くことができます。
というのも奇数の場合は最大公約数が２となりますが、
先ほども書いた通り最大公約数と言われたら、
①ユークリッドの互除法
②４式１条件を作る
という２方針しかありません。
ユークリッドの互除法は先ほど使ってしまったので、今度は４式１条件を作るのです。（手書きの解答では、結果として不要なので２式１条件しか載せていませんが、実際に解答を作る上では立てた方が良いです。）
ここまでは定石の手段。
そこで、２数の積を取ってみると、結局ＭとＮがともに平方数でなければならなくなります。
ここまでは、何も不思議なことは起こっていません。最大公約数と言われたから、最大公約数の条件式を立てただけです。
発想力（難）５の剰余類で矛盾を示す
ここからは、解答が分岐するところ。
正直なことを言えば、理Ⅰや理Ⅱであれば、これ以降は解けなくても良い気がしますが、解説は書きます。
恐らくこの時点で式をゴチャゴチャいじて、色々試すのでしょう。
その中には、５ｎ＾２＋９＝２Ｎにｎ＝２ｍ－１を代入した式も登場すると思いますが、ここに注目してみました。
すると、Ｎの右辺に係数の１０が登場します。
これに注目して、５を法とする合同式を取ってみると、Ｎが平方数でないことが証明できます。
発想が難しいので、（２）の前半までしっかり解答を描ければＯＫでしょう。
では、全体の解答です。
今回の数学の問題の中では、難しい問題になるのではないかと思います。
但しそれは満点を取る前提での話で、２０点中１０点を取るのは非常に簡単な問題。（１２～１３点くらいかも）
この部分点をしっかりとれるかどうかが、運命の分かれ目でしょう。
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