2020年東大数学を当日解いたので、所感を書いてみた。【文系】

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2020年東大文系第1問

いつも通りの3次関数の問題。
条件1は非常に簡単。増減表書いて、極値=0とやるだけ。
極大値が0なのか、極小値が0なのかで場合分けがあるけど、2通りだしそれほど面倒ではない。
条件2が厄介。
要するに、領域内に格子点を一つ含む条件だけど、これが立式できるかどうかを問われている問題でしょう。
ちなみに、3次関数が境界にある領域が、格子点を含むかどうかなんて問題は、誰も解いたことがありません。
とすると、似たような問題を解いた経験を頭の中で探るわけですが、出来ましたでしょうか。
2次関数の解の配置の問題を参考に立式すれば出来る問題でした。
すごく難しい問題ではないですが、問題集を丸暗記していても解けないということで、東大らしい問題だと言えるでしょう。

2020年東大文系第2問

お、確率か?
と思ったら違いました。場合の数でした。
東大入試では、場合の数が出題されることは非常に少なく、いつも確率ばっかりです。
そういう意味で珍しい問題なのですが、別にそんなに気にならない問題。設定が読み込みやすいので、東大の「確率」の問題としては、易しい部類に入るのではないでしょうか。

2020年東大文系第3問

これも関数の問題。
放物線と傾きを絡める問題でした。
(1)は普通の通過領域の問題。
通過領域は、かつて東大で頻出のテーマでしたので、対策をしている人も多かったでしょう。
弊塾でも、重要テーマとして授業を取り組んでます。
突然宣伝ですみませんが、塾生募集ページで告知しているとおり、誰でも受講できるオープン講座も開講予定です。通過領域に関しても、各種解法の使い分けを丁寧に解説しますので、どうぞお楽しみに。
もうすぐ詳細を公表出来ますので、お待ちください。ご興味ある方は、問い合わせページからご連絡いただければ、詳細アップ時にご連絡差し上げます。
さて、本題にもどります。
普通、通過領域というと、パラメータの解の配置に持ち込むか、ファクシミリ論法に持ち込むか、包絡線で解くか、という3パターンが用意されているんですが、
どうやら、(2)との絡みを考えると、東大側はそこまで厳密な領域図示を求めてないかもしれませんね。
もう少し詳しく言うと、(2)への誘導がやや分かりづらかったかもしれませんが、(2)では原点Oから放物線へ引いた接線の傾きが重要になります。
これを踏まえると、(1)でも、原点から放物線上の点へ半直線を引きながら図示すれば、OKとされるのかも。
※いつもは最後に通過領域を書かせるのに、今回は(1)から通過領域の図示ですし。
この辺りは、現時点で東大側も採点基準を決めてない可能性が高いので、議論する意味がないのかもしれませんが、一応所感として書いておきます。
(2)では、座標平面上の正三角形の成立条件が理解できているかがポイントです。
始めといた時には、しばらく気付きませんでしたが、
座標と角度が絡んだら、
①余弦定理かベクトルの内積
②tanの利用
③(理系なら)複素数平面
④図形的なアプローチ

というのが、オーソドックスなアプローチです。ちなみに、④は相対的に使用頻度が少ない気がします。
今回も、②tanでアプローチすると、余計な条件を立式させずに解くことができたようです。

2020年東大文系第4問

理系との共通問題で、今回一番難しかった問題。
多くの受験生が、(1)すら解けずに終わったことでしょう。

(1)は計算問題ですから、何とか計算が出来たとしても、(2)の論証が難しかったかなと思います。
苦手な方は、事実上60点満点のテストと認識して解いても良かったかもしれません。

ちなみに、こういう整数や数列が絡んだ問題が登場したら、即考えることがいくつかあります。
1つは、小さな値や具体的な値で試し、法則を探ること
もう一つは、数学的帰納法で証明を試みることです。

今回の問題は、帰納法より、小さな値を代入して試すと効果的な問題でした。(1)も(2)もです。

試してみると、なんとキレイな法則が見つかり、感動するかもしれません。

全体講評

さて、全体を見てみましょう。
数学が得意な方は、20+20+20+10くらいが満点で、50~60点が狙いどころでしょうか。
数学が苦手な方は、15+15+10+0で40点が狙いどころかなぁというところです。

去年との比較をすると、第4問の点数が取りづらいということで、やや難化と判断しました。
※去年の第2問、第3問、第4問も点数が取りづらい問題でしたが、第1問が簡単だったので、このように判断しています。

入試直後には「すごい難化した!」のようなツイートが溢れますが、受験会場で問題を解くと難しく感じるものです。
私としては、あくまでやや難化程度だろうと思います。

 

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