2020年東大数学 理系第3問の解説

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2020年東大数学 理系第3問

今年、受験生が最も手を出しやすかった問題でしょう。
20点は取れないまでも、10点以上取れた受験生は多いだろうな、という印象。
問題を見ていきましょう。
 

(1)微分すら必要ない

(1)の問題文を見ると、「tの関数tが単調に減少することを示せ」とあります。
単調減少や単調増加というと、真っ先に思いつくのが微分でしょう。
ということで、y/xを計算して微分する問題だと見積もります。
 
で、さっそくy/xを計算すると、なんと微分すら必要ない形に!
 
そうです。
単調増加や単調減少は、即、微分というわけではありません。
微分は増減が分からない時の技術ですから、微分しなくても増減が分かってしまえば、必要ないのです。
 
ということで、ここは微分すらせず、そのままスルー。
 

(2)これは微分

さて、次は(2)へ。
これも、「増減を調べろ」という問題なので、微分かなと想定します。
そして、原点と点Pの距離なので、三平方の定理へ。このとき、√を外して、2乗したまま増減を調べても構いませんね。この辺りはいつものことなので、特に構えずに使えるようになりたい技術です。
 
先ほどと同様、微分しなくてもわかるかな~と、ちょっとだけ期待していると、今回はダメ。
しかたなく微分して、増減表を描いて、答えを求めます。
ハッキリいって、普通の微分の問題でした。

とりあえずCの概形を

最後の(3)です。

「まずは、点Pの軌跡を求めて、それを90度回転させた面積を求めよ」という問題。
まだ、Cの概形すら求めてないのに、色々やらせるなと思いますね。
 
まず、Cの概形を求めるところですが、(1)でy/xが単調減少だと求めてます。y/xとは何かというと、OPの傾きですね。つまり、Oからの接線がだんだん減っていくように軌跡をたどります。
なお、y/xが単調減少とは、上に凸を示しますね。上に凸と書いても、もちろんOKでしょう。
 
他に、増減を知りたい値としては、xとyでしょう。これについても増減を調べるのですが、xは見た目で単調増加と分かります。
yは分からないので、仕方なく微分。これでやっと概形が分かりますね。
 

回転するときは、中心からの最短距離と最長距離

さて、最後に回転させましょう。
回転してから求積をするとき、大切な値はなんでしょうか。
最短距離と最長距離です。
 
回転する時には、平面なら中心、立体なら中心軸があります。
その中心からの半径が重要。
半径の最短距離未満には、面積も体積もないですし、
半径の最長距離以上には、面積も体積もないのです。
 
今回は、中心である原点を通る図形が回転するので、最短距離はどうでもよいので、最長距離だけに注目。
そしてそれが(2)で求めた値です(つまり、誘導問題)
 
あとは、図形を書くと、扇形と領域Dの合計面積になるので、面積計算して終わり。
では手書きの解答をどうぞ。
(3)の手間がかかるので、時間はかかるかもしれませんが、難易度としては、標準か、やや易くらいかなと思います。
これからの受験生も、ゆっくり解いて満点を取れるようにすると、良い練習になるでしょう。
 

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