2016年 東大文系数学 第3問(サービス問題、2曲線が接する条件、面積)

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2016年 東大文系数学 第3問(サービス問題、2曲線が接する条件、面積)

見た瞬間、サービス問題!!

受験生の皆さん!!

この問題を一度見て、絶対に点数を取らなきゃいけない問題だって気付けますか??

これは、正直言ってサービス問題でしょう。計算は、やや煩雑になりますが、問題の流れとしてはよくある典型問題です。

なんなら、数字を簡単にすれば、センターの問題と大差ありません。

 

もちろん僕も入試会場で見た瞬間、もらったなと思いました。

と同時に、この問題で点数を落としてるようでは、合格は危ないでしょうから計算ミスしないように、気を付けないといけません。

ちょっと時間をかけてでも、計算ミスを防ぎ点数をもらう問題です。

 

さて、なぜここまで点数が取れる問題だと言い切れるのか?

その理由は、問題を一読しただけで、どんな問題なのか、どこがポイントになるかが、ほとんど全てわかってしまうからです。

2曲線が接する条件

(1)から一つずつ、ポイントをまとめてみましょう

(1)の問題は、2つの曲線が接するという条件を知っていれば終わりです。

手書きの解答には、3種類の解き方を(つまり2種類の別解)を載せておきました。どれも基本ですから、絶対に覚えておいてください。

 

 

さて、三つ載せましたが、どれも2本立式出来る事に注目です。

問題文にpとqの二文字が出てきますから、二本の式が必要なことは分かりますね。これに対して、接する条件から二本の式が立式出来る。これでこの問題は解けます。

つまり、問題を見た時に、解ける事がわかってしまうわけです。

 

面積だから積分(1/6公式)

次に(2)です。

(2)はBの放物線を平行移動させた放物線Cと、Aの囲んだ面積を求める問題ですね。

平行移動させようが、tというパラメータが入ってようが、二つの放物線が囲んだ面積には他なりません。

これは、東大受験生だったら、是非ともすぐに思いついてほしいですね。もちろん6分の1公式で一発です。>要するに、いつもやっている計算を、丁寧にミスなく行えば、点数がもらえる問題ということです

 

では、手書きの解答いきましょう。

 

放物線の交わり方によって面積の場合分け

注意点としては、2つの放物線が交わるときは面積を計算して、交わらない時は面積ゼロと場合を分けて書かなければならないことですね。そのためには、2つの放物線が交わる条件を立てる必要がありますが、これもお馴染み、判別式で一発です。

 

平行移動をした後の放物線の式がちょっと複雑ですし、面積を求める時も複雑になりがちです。僕は解と係数の関係を使いましたが、ストレートに解の公式で解を直接求めてもOKです。

という事で、これも計算をする前からどんな解答になるのか、分かってしまう問題でした。

 

最大最小問題の解法

では最後の(3)ですが、面積の最大値を求めよ、とのことです。

最大最小問題は、基本的にはグラフを書いて、定義域の中で最も値域が大きくなる点を求める問題です。理系であれば、微分を使えば無理矢理グラフが書けてしまいますね。

しかし、文系では簡単な微分法しか習わないので、知らない関数が出てきたら工夫しなければなりません。

 

今回の問題でも、S(t)の右辺は知らない関数ですから、どう工夫するかがポイントの問題です。というか、それしかポイントがありません。

では、解答をどうぞ。

 

 

この最大値の求め方もよくあるタイプです。だから、なんなくクリア。ぜひとも、満点を狙ってほしい問題です。

 

まとめ

(2)を解き終わるまでは、面積がどんな式になるか分かりませんから、当然(3)の解答がどうなるかはわかりません。でも、少なくとも(2)までは解けそうだとは判断してほしいですね。(本当は、(3)まで予想出来ますが)

細かいポイントは、手書きの方に色々書いておきましたから、読んでみて下さい!

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