数学12月②2011年第4問、2015年第1問、2007年第2問、2007年第2問、2010年文系第4問理系第5問

こんにちは、スタッフAです!
今回は、2011年第4問、2015年第1問、2007年第2問、2007年第2問、2010年文系第4問理系第5問を扱いました。

以下、学んだことを整理しています。
命題とは、真偽がはっきりするもの。主観によるものは命題ではない。
受験数学では、「偽」は少なくともひとつ反例が存在するもの。真は反例がないもの。
ここでおさらい。「命題PならばQ」の反例は?
「PかつQでない」となる要素です。

 

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「不等式だ!」→「ある不等式」か「すべての不等式」のどちらか。
あるXに成立する不等式は、不等式を解く問題なので、すぐに解法が思いつく。
困るのは「すべての不等式」の問題。
今回nは離散数。
離散数の最大最小や増減は、教科書には載っていない。→でも、問題には登場する。
今回の問題の場合は、2つの解法がある。
① 離散数を連続数で考える。今回は、nをXに置き換えて、微分。

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今回はnの2次方程式になり、nの値が求められる。そこから、増減が変わる場所がわかり、最小値が求まる。

なお、命題Aは下記のように書けば満点をもらえる。
「命題Aの真偽は偽である。反例はn=17」

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こういうときは、角度の条件を用いないほうが楽。よって、PQ=PRを使うか、「QRの垂直二等分線が、点Pを通る」を使う。

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「図形の問題だ!」→図形そのままor座標orベクトル の3択を連想する。
半径1の円の場合は座標、さらに、円上をぐるぐる周る場合も座標を用いる可能性が高い。
弧度法の定義よりl=rθ。今回は、半径1なので、l=θ
直角二等辺三角形であるから、PRが円の直径、→OQ⊥→ORの2つで解くと楽。もちろん、PQ=RQなども使えるが、煩雑になるので推奨しない。

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