2次試験まであと5週!

こんにちは、スタッフAです。

新年1回目の数学の授業が行われました。12月3回目以降の授業は、共通テストに時間を充てるために休みになっていました。そのため、これからは2コマ分づつ4時間の授業が行われます。
今回は、整数と漸化式を使う問題が中心です。

その前に、授業のカリキュラムが変更されたのでお知らせします。

今まで、地理と日本史、世界史、国語、英語は隔週で2時間ずつの授業が行われていましたが、共通テスト後は、地歴と国語は1日おきに午前10時から、英語は毎日14時から演習を行なっています。
東大の過去問や有名私塾の予想問題などを解いて、答案を先生に送り、コメントを動画で頂戴する毎日です。
個人個人の弱点を重点的にカバーしていただいている印象です。

それでは、数学の授業の内容に入ります。
東大の過去問1993 文系第2問 、1997年第1問 、2003年第3問 、2002年第2問 、2017年第4問、理系2015年第4問、2008年第4問、2014年第4問、2016年第4問 、2011年第2問を事前に解き、解説を読み込んでから、授業に参加しました。
以下、学んだことを整理しています。

1993 文系第2問

同値である
qならばp
pならばqの両方を示す

十分性が崩れるパターンは??
・2乗したとき
・3次関数で微分したとき→増減表を書けば大丈夫
・軌跡 求めた式全体が元々の式を満たすかチェック
東大は奇跡の問題はあまりでないが、東大レベルなら、求めた式から1点除外されるような解答になると考えられると疑おう
・恒等式で代入で求めた場合

★重要★
東大の整数と確率や離散数
とにかく、偶奇と余りが重要
余りと周期は同時に登場

具体的な数値を入れる
偶数を探す

周期性の証明は、帰納法が使える
帰納法は面倒なので、まずは合同式を使う

本当は整数であることを示さなければいけないが、問題文に「整数からなる数列」とあるので、不要。

1997年第1問

後世に影響を与えた良問
aとbが対象式→共役だ!ペル方程式を思い出そう。

対象式が出てきたら、a+bとabをまず求める。

対称性には何がある?
式の対称性
図形の対称性 
確率の対称性

対象式が絡むものは?
対象式の変形
解と係数の関係
相加相乗
ペル方程式→共役なもののn乗+n乗→強化帰納法を使う
実数条件→「〜〜と〜〜は2次方程式〜〜の2解である」

数学得意な人は、すぐに値を文字で定義する。今回は、a+b=xとab=yとおく。

(2)は帰納法を使いそうだ!→帰納法を使うなら、相性が良い漸化式が欲しい。だから、作る。

 

 

2003年第3問

(2)は1の位を求めさせる問題→10で割った余りだ!
ペル方程式は、正の証明と整数である証明を同時にできるかどうかは、問題によって異なる。
「示し」とあるのでまずは帰納法。
正である証明→αが正、βも正、よってその累乗も正。

整数であることの証明→強化帰納法←係数が整数だから、結果も整数になることを使う

周期を予想する→周期が3だとわかる→周期と余りは合同式を使う→Sn+3≡Snを示せばいい→今回はうまくいかないので帰納法で示すことになる

参考
−3の1の位は?7である。
mod10を考えればよい。

 

 

2002年第2問

学習効果の高い良問
(1)は証明問題なので、(1)ができなくとも(2)はできる。(2)のほうが簡単なこともよくあるので、必ずチャレンジしよう

(2)
(1)で示したものを使って、3項間漸化式が作れる。
正の証明→αが正、βが正など
整数の証明→帰納法
互いに素→最大公約数が1

最大公約数といえば??
・4式1条件 ab=glなど
・背理法→2以上のGCMを持つとする←矛盾する

 

2017年第4問

-1/p=qとおく。pとqで共役。ペル方程式。
互除法と三項間漸化式は相性が良い。というより、そのものであることを思い出す。

 

理系2015年第4問

(1)知らない問題、変な問題だと思ったら、どこかにヒントがあると考えてみよう。

「nによらない」なので、右辺にnが登場しない。今回は、定数になるとわかる。

(2)三項間漸化式だと気づき、計算を頑張る問題

Pn+2を消すために、nをn-1にして揃えてから連立して、頑張る。

 

2008年第4問

(1)具体的な数字は合同式が強いが、今回は帰納法。離散数の証明なので「帰納法だな」と気付きたい。

 

2014年第4問

r、r+1が出てくる→「隣り合う整数同士は互いに素」を思い出そう。
(1)は証明問題なので、解けなくとも(2)にチャレンジしよう。

(3)途中、bn+1で割りたくなるが、合同式なので割ってはいけない→移行して、くくる。
bm≡bnとなる。どちらもpより小さいので、bm=bnである。

 

2016年第4問

(3)指数が積み上がっていく問題。数学では「タワー」と呼びます。

 

2011年第2問

「少数部分」「整数部分」と言われたら、定義式を無視して進めると良い。使わない場合もあるし、理解が難しい。手詰まりになったら、確認しよう。

 

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