数学4月③

こんにちは、スタッフBです。

今回も論理と証明を扱います。

数学の問題をなんとなく解くのではなく、体系的に理解して解くために必要なことをまとめています。

・なんとなく解いている人がほとんどだが

「方程式を解け」は、あるxについて成立する

「等式を証明せよ」は、すべてのxについて成立する

を理解しておくとよい。

あるxに成り立つのが方程式、すべてのxに成り立つのが恒等式。

・恒等式の解法は3つ

①係数比較法

②代入法　求めた定数を与式に代入して確認する

③代入法　n次式に対し、n＋1個の数字を代入して成立すれば恒等式となることを利用する　（例　xの3次式なら、4つの数をxに入れて成立すれば恒等式である）

・同義語まとめ

常に、全ての、任意の、どんな〜でも、どのような〜も

存在する、ある〜

・「kのどのような値に対しても」はkの恒等式。成立するxやyを探す

・不等式においても「ある」と「すべての」を区別して理解する。

「ある」不等式は名称がないが、「すべての」不等式は「絶対不等式」で、証明する場合は最大最小問題である。

・覚えよう

・相加平均・相乗平均などで等号成立条件はなぜ書くのか

まず、書いて損はないから必ず書いて欲しい

等号成立条件がないと、不等式が成り立つことしか示せない　　

等号成立条件があることで、最小値と＝であることが示せる　　　

つまり、最小値を示す必要があるから、等号成立条件を書く

・和と積で何がググれますか？

①基本対象式（x＋y xy）

②解と係数の関係（α＋β  αβ）

③等差中項、等比中項（等差中項「1,𝑎,𝑏がこの順に等差数列である」⇔「 𝑎 が 1,𝑏 の等差中項である」　　2𝑎=1+𝑏 ）

・1文字固定の考え方は思っている100倍以上大事

汎用性が高く、よく使う

より数学的な用語は「予選決勝法」