2016年東大理系数学（第5問）入試問題の解答（答案例）・解説（具体的に調べる、スケール、整数の存在証明、ガウス、背理法）
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２０１６年 東大理系数学 第五問（具体的に調べる、スケール、整数の存在証明、ガウス、背理法）
とても難しい問題
これは非常に難しいですよ。予備校の難易度の発表では第６問が一番難しいってなっていますが、僕としてはこの問題が一番キライ。 というのは、僕が長い問題文が嫌いというのがあるのかもしれませんが（笑） ちなみにこれ、一読でどんな問題か分かった人っているんですかね？僕は何度か読んで、計算し始めたくらいで、やっと意味が分かりました。 一読で分かったとしたら、相当なレベルでしょう。多分その人、東大に受かります。 なぜ難しいかと言うと、具体的な数字が登場しないからです。言い換えれば、非常に抽象的な問題だという事です。 具体的なことはわかり易く、抽象的なことは理解づらくなるのが、普通です。数字の計算は出来ても、文字式の計算は難しいのです。 よく見てみて下さい。 ２とか３とか、具体的な数字が登場しませんよね。 １０は登場しますが、これは桁数を表す数字なので、ちょっと特殊。だから例外です。 （１）から小数第ｋ桁ですから、いきなり一般的な小数の問題です。 普通（１）では、具体的な数字を当てはめさせて、法則を見破らせることが多いんですが、それもしない。 という事で、とても難しい問題なのです。
抽象的な問題では、具体的な数字で試そう
だからと言って、具体的な数字で試してはいけないわけではありません。 数学の定石「具体的な数字を代入して、イメージを掴みなさい」は、受験数学でもお馴染みのテクニックです。 東大入試の数学は、冊子をめくって左半分は問題文、右半分は計算用のスペースですから、そこを使ってアレコレ計算すれば良い。 という事で、私も例に漏れず、小さな値を代入してみました。 では、手書きの解答ですが、左半分をご覧ください。
簡単で小さい値という事で、０．１２を代入してみました。（さすがに０．１じゃ、桁が少なすぎてマズイでしょうね笑） 移項して、二乗して・・・と計算を進めると、ｎとして求められたのは１００２５と１００２６です。小数ばっかりの問題だと思いきや、１００００以上の数字が登場。中々面白いですね。 僕は、ここまでで方針が見えたので止めましたが、分からなければ他にも何個か代入して法則を見つけて下さい。０．３４５とか、０．４２１３とか、何でも構いません。 やってみるとわかりますが、どんな数字を代入しても、ｎは２個求められるはずです。そして、必ず桁数が大きい数字になります。 もっと言えば、１００００…？？のように、一番上の位の数字は１で、その後０がいくつか続く。（場合によっては続かないかも） そして、最後の方０に以外の数字が登場するような数になると思います。
ポイントはスケール（桁数）
という事で、この問題のポイントを発表しましょう。これはスケールの問題です。 スケールという言葉は一般語として日常でも使いますね。「スケールの大きい話」みたいに使います。 しかし、理系でスケールっていう言葉が出てきたら、主に桁数を表します。 例えば、アリはミリメートルのスケール、人間の体はセンチメートルのスケール、みたいに使います。（本当は、１０の３乗のスケールとか、１０のマイナス５乗のスケールっていう使い方ですが。）
スケールでｎを絞り込む
与式を見て下さい。 左辺は１より小さな小数ですね。右辺は左辺の小数第ｋ位に１を足した数ですから、これも１より小さな小数です。 では真ん中はどうでしょう。 ルートｎの値はわからないとして、１０のｋ乗を引いています。１０のｋ乗って、０がｋ個並ぶような、物凄く大きな数ですよね。 要するに、左辺と右辺は小さな数なのに、真ん中だけスケールの大きな計算をしているっていう、変わった式なのです。 この式で、ｎを求めようとすると、１０のｋ乗を移項して、全体を二乗する作業になります。すると左辺と右辺に３種類のスケールの項が登場するのがわかりますでしょうか？ （ちょっと面倒ですが、手書きの解答と見比べて読んで下さい。） ①１０の２ｋ乗のスケールの数（０が２ｋ個も続く様な大きな数） ②１とか１０とかそれくらいのスケールの数 ③物凄く小さな小数 の３種類です。要するに、大中小の３種類。 しかも、①と②はほとんど同じ値で共通していて、③だけコマゴマした計算になります。 一方で、求めろと言われているのはｎ、つまり整数ですよね。スケール感で言うと、①と②のスケールだから、③のコマゴマした小数なんてどうでも良いのです。 小数なんて、どうせ０と１の間の数なので、挟んでしまえば消えてしまいます。こうして、ざっくりとした計算をしながら、ｎの候補を絞り込んでいくのが、大きな方針です！ ということで、あとは先ほどの手書きの解答をご覧ください！
（２）整数の存在証明
では次に（２）の話ですが、これは（１）の延長。ほとんど同じ話なので、手書きの解答をいきなりどうぞ。（左半分です）
（１）と違うところは最後の候補の絞り方です。 整数の存在証明のために左辺と右辺の差を取るっていう、ちょっと変わった方法を使っています。珍しく感じるかもしれませんが、整数の存在証明の時にはたまに使うので是非ここで覚えて下さい。 ※近い概念としては、連続する整数のどちらかには必ず２の倍数が含まれるとか、連続３整数のうち一つは３の倍数が含まれるとか。十分広く範囲を取れば、どこかに一つは含まれるっていう発想です。
（３）誘導ではない問題は、作戦が大事
最後に（３）。 普通、こうやって問題文が続いてくると、（１）とか（２）が誘導になっているんですが、全く誘導になっていないという、珍しい問題(笑) 僕はいつも生徒に 「数学は全て誘導問題！あっ、これ誘導だったんだ、て気付いてはアホ」 と言っているのですが、この問題は誘導と関係ないので通用しません。 しかし、こういうときには作戦がポイントになります。 私の記事では、作戦とは「一つの科目の試験を攻略するために必要なこと」を表していますが、試験において作戦の最も大切な考え方は 「計算を始める前に、最後まで通読してから解く。」 です。 ほとんどの受験生が、学校や予備校で作戦の概念を習いません。「通読してから解け」なんていう、基本中の基本の動作すら習わず、１問ごとの解法ばかり習います。だから、（１）から順序良く解く人しか生まれないのです。 すると、（１）が解けないと分かった瞬間に、（２）を読まずに諦める人になってしまいます。 試験は加点式の計算をしますから、（１）が解けなくても（２）が解ける問題が一定の確率で出題されます。 だから、解いた問題に関しては点数がもらえます。 この東大の問題に関しても、（主観ではありますが）（１）や（２）より解きやすかったように感じました。 ということは、やはり（１）や（２）が解けなくても（３）読んでおいた方が得する可能性は高いでしょう。この記事を読んでいる受験生には、最初に通読して問題を解き始めるクセをつけてほしいものです。
ガウス記号は整数部分
では（３）の解説をしましょう。 まず、ガウス記号が登場しています。 苦手にしている生徒が多いですが、そのほとんどは直感的な理解ができないからでしょう。確かに、「ｘを超えない最大の整数」なんて言われてもピンときません。 一発で直観的にわかる方法を教えましょう！それは、ガウス記号は（中身が正のとき）ただの整数部分です。
背理法で証明
そして、もう一つ。背理法が連想出来れば、勝負ありです。 この問題で、なぜ背理法が思い付くかというと「存在しないことの証明」だからです。 「存在しないことの証明」の場合、「存在すると仮定して矛盾を示す」というのが定石です。 練習問題を出しておきましょう。 「直線ｌと、直線ｌ上にない点Pがある。点Pを通り、直線ｌに平行な直線は１本しか存在しないことを示せ。 背理法で有名なのは、ルート２が無理数であることの証明ですが、この東大の問題もほとんどそれと同じで解けます。 という事で、さっき貼りつけた、手書きの解答の右半分をご覧ください！
むずかしい問題だったので、長くなってしまいました。 この問題であれば、半分取れたら結構凄いレベルでしょう。（３）だけ解けたって人も中にはいたのかも。
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