2016年 東大理系数学 第6問(対称性、切断で次元を落とす、回転対称性)

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2016年 東大理系数学 第6問(対称性、切断で次元を落とす、回転対称性)

 

問題文は短くシンプル。でも、2016年で一番難しいとされている問題です。(東進によると)
僕個人としては、第5問の方がイヤだって感じるんですが、第5問と第6問が解きづらいというのは、揺るぎないでしょう。

空間図形の体積を求める問題2つのポイント

テーマは空間図形の体積を求める問題。いわゆる「求積問題」です。
東大は空間図形の問題が大好きです。良く出ます。僕が高校生の頃は、指導してもらってた数学の先生に、空間図形の問題を解かされまくってました。

空間図形の求積問題では、大きなポイントが二つあります。
①対称性を考えよ
②切断して断面を考えよ

空間図形の体積を求める問題 ポイント①対称性

まず①の対称性に関して。
人間の頭っていうのは、一度に色々考えられません。複雑なものは苦手ですし、大きなものや、長いものも苦手。平面より空間が難しく感じるのは当然です。

そこで、数学の先生がよく注目させるのが対称性。
図形においての対称性というのは、一部の特徴が、他の場所にも全く同じように表れるという事です。
具体的には2種類あって、線対称と点対称。中学1年生の幾何で習います。

空間図形のように、イメージし辛く複雑な図形の時には、かなりの確率で対称性に注目すると簡単になります。全体を見る必要がなくなり、一部だけに注目すれば良くなります。

空間図形の体積を求める問題 ポイント②切断して次元を落とす

そして②の切断に関してです。
まず最も大切なことを言いましょう。切断というのは次元を一つ落とす行為です。
立体を切断すると、断面は平面になりますよね。3次元が2次元になるということです。
ちなみに、移動は次元を上げる行為です。点を移動させると線になり、線を移動させると立体図形になります。

回転対称性が出たら、輪切りして円にせよ

今回の問題は、点対称の発展版の、回転対称性があります。これに気付けば、かなり問題が非常に簡単になります。
そして回転対称性があるということは、輪切りにすると必ず円が出てくるという事です。その円の面積を求めて、積分すれば答えがでます。
という事はその円の半径さえ求められれば良いので、どうすれば最も合理的な方法で切断出来るか考える、という流れになります。

ここまでを踏まえて、手書きの解答をどうぞ。

読んでわかる通り、私はx-z平面で切断しました。これで、空間図形の問題が平面図形の問題に早変わりです。
こうして、問題を簡単にしていくわけですね。

点Pを設置して立式

さて、立式ですが、まずは点Pを設置するのは絶対です。
積分ですから動点P(X,Z)を設定すると、なんと求めたい円の半径も、点Pのx座標そのものですね。という事で、インテグラルも作ってしまう。あとはXとZの関係式を作れれば良いわけですね。

手書きの解答のx-z平面を見て下さい。
点P(X,0,Z)が設置してあって、C(0,0,1)が定点。これで直線が決定します。
あとは、長さ2をどのように表現するかが問題ですが、解答のようにPAの長さをを2まで動かすという事で処理出来ます。

この辺りの立式の仕方が少し難しいかもしれませんが、良く考えれば合理的な立式の仕方だと思いますので、復習をして下さいね。

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