数学6月①解の配置⑴

こんにちは、スタッフBです。今回は解の配置です。

「実数解の条件」と同じ意味で使われる言葉です。

2次方程式の解の配置は様々な分野に絡むため、体系的に学ぶべき重要なテーマ。

3つの基礎的な解法を用いれば、概ね解ける。

（以下、下に凸）

A    正に2解を持つパターンの条件

は　判別式D＞0

じ　軸＞0

き　境界の座標　f（0）＞0

※

判別式D＞0

α＞0

β＞0

を用いても良い。つまり、

Dが正

α＋β＞0（はじきの「じ」に対応）

αβ＞0（はじきの「き」に対応）

が条件となる。

B    正と負の解を持つパターンの条件

f（0）＜0

C    0〈x 〈1に1解を持つパターンの条件

f（0）・f（1）＜0

応用パターン

x≧0に2解を持つ場合

α＝0とα〉0の2つに分けて考える。

α＝0のときf（0）＝0 、軸＞0

α＞0のとき判別式D＞0、軸＞0、f（0）＞0

x＞0に少なくとも1解を持つ場合

x＞0に重解

x＝0とx＞0に1解ずつ

x＞0とx＜0に1解ずつ

x＞0に2解

の4つに場合分けする。

0≦x≦1に少なくとも1解を持つ場合

x＝0に解を持つ

x＝1に解を持つ

0＜x＜1に解を持つ→さらに3つに場合分け

0＜x＜1に1解、重解、2解

x≧0に少なくとも1解を持つ場合

f（0）＝0の条件を立て、イコールを外すことで、x＞0で考えることができる。

それから、2解、重解、1解で場合分け。

今回は過去問を2問解きました。

1993年第1問

f‘（x）＝0の判別式D＞0だな、−1＜x＜1で2解を持つんだな、とすぐに気づかなければいけない。

図示は、点線と実戦で境界の含む含まないを表現すると良い。

1996年第2問

良問。現段階では、部分点を10点程度取れると良い。

4条件をまず書くことが大事。採点者が読みやすい。

異なる実数解を持つ条件は

①D＞0

②−1＜軸＜1

③f（−1）＞0

④f（1）＞0

の4条件が同時に成立することである。

文字がたくさんあるときは、予選決勝法で文字を固定して、文字を減らす。

今回はb、c、dを固定する。

場合分けは機械的に素早くできるようにし、3次方程式の解の配置は警戒するようにとのことでした。