数学6月①解の配置⑴

こんにちは、スタッフBです。今回は解の配置です。

「実数解の条件」と同じ意味で使われる言葉です。

 

2次方程式の解の配置は様々な分野に絡むため、体系的に学ぶべき重要なテーマ。

 

3つの基礎的な解法を用いれば、概ね解ける。

(以下、下に凸)

 

A    正に2解を持つパターンの条件

は 判別式D>0

じ 軸>0

き 境界の座標 f(0)>0

 

判別式D>0

α>0

β>0

 

を用いても良い。つまり、

 

Dが正

α+β>0(はじきの「じ」に対応)

αβ>0(はじきの「き」に対応)

 

が条件となる。

 

B    正と負の解を持つパターンの条件

f(0)<0

 

C    0〈x 〈1に1解を持つパターンの条件

f(0)・f(1)<0

 

応用パターン

x≧0に2解を持つ場合

α=0とα〉0の2つに分けて考える。

α=0のときf(0)=0 、軸>0

α>0のとき判別式D>0、軸>0、f(0)>0

 

x>0に少なくとも1解を持つ場合

x>0に重解

x=0とx>0に1解ずつ

x>0とx<0に1解ずつ

x>0に2解

の4つに場合分けする。

 

0≦x≦1に少なくとも1解を持つ場合

x=0に解を持つ

x=1に解を持つ

0<x<1に解を持つ→さらに3つに場合分け

0<x<1に1解、重解、2解

 

x≧0に少なくとも1解を持つ場合

f(0)=0の条件を立て、イコールを外すことで、x>0で考えることができる。

それから、2解、重解、1解で場合分け。

 

今回は過去問を2問解きました。

1993年第1問

f‘(x)=0の判別式D>0だな、−1<x<1で2解を持つんだな、とすぐに気づかなければいけない。

図示は、点線と実戦で境界の含む含まないを表現すると良い。

 

1996年第2問

良問。現段階では、部分点を10点程度取れると良い。

4条件をまず書くことが大事。採点者が読みやすい。

異なる実数解を持つ条件は

①D>0

②−1<軸<1

③f(−1)>0

④f(1)>0

の4条件が同時に成立することである。

 

文字がたくさんあるときは、予選決勝法で文字を固定して、文字を減らす。

今回はb、c、dを固定する。

 

場合分けは機械的に素早くできるようにし、3次方程式の解の配置は警戒するようにとのことでした。

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