2017年東大理系数学（第5問）入試問題の解答（答案例）・解説（二次関数・二次曲線・放物線・接線・判別式）

２０１７年　東大理系数学　第５問の解説（二次関数・二次曲線・放物線・接線・判別式）

まずは、問題から。

数学を体系的に教えるべき

東大の数学は確率や整数が難しく、関数の問題が比較的簡単になりがち。 そういう意味で、この問題は受験生が得意そうな問題。 特に接線関連の問題はたくさん問題集にも載ってますし、それほど複雑にならないことが多いので、見た瞬間に手を付けた受験生が多いでしょうね。 実際に解いてみても、あまり深いことを考えず、なんだかゴチャゴチャ計算していたら解けちゃった、みたいな問題です。 僕は今の数学教育は、計算訓練にすぎないと思っているのですが、接線関連に関しても同様で、割とその場しのぎで解いている人が多い印象です。理論的、体系的に教え、考えるべきだと思っているのですが。 とそんな愚痴はどうでもよいとして、解答の方針に行きましょう。

（１）接線の解法

まず（１）は共通接線の条件を立式するわけですが、今回はｙ＝ａｘ＋ｂの式と、２つの放物線が接しているとのこと。 接する条件には色々ありますが、今回は素直に判別式で良さそうですね。 もう少し細かく言うと、例えば３次関数とか、指数や三角関数が含まれている関数であれば、微分を用いるのでしょうけど、そういうわけでもないし、 接点が分かっていれば、接点から接線を引く事も出来るんですが、ちょっと使える形ではない。 まあ、接するのが放物線（二次曲線）ですからね。あれこれ考えず、判別式を創っちゃえば良い、ということでしょう。 という事で、（判別式）＝０の等式を２本立てると、（１）は解けてしまいます。 不明量がａとｂとｋで３文字。 それに対して、（判別式）＝０の等式が２本です。 そして、問題文の要求が、ｂとｋをａを用いて表せという事ですから、１文字分余ってＯＫ という事で、方針の目途も簡単に立ちます。 あまり深く考えず判別式というのが、良いでしょう。

丁寧に問題文を読もう

次に（２）。 まず何も考えず、ａ＝２を代入するところから始めます。 すると（１）の結果を使ってｂとｋの値が出ますね。 これで部分点は確保です。 ここまでは簡単だから良いとして、問題文の意味を理解しているでしょうか？ 丁寧に読み解きましょう。 問題文には 「傾きが２の共通接線が存在するようにｋの値を定める。」 とあります。 傾きが２とあるので、ａ＝２を代入したわけで、このａに対してｋの値が定まります。 その次に 「このとき」 とありますが、これは 「ａ＝２に対応するｋの値のとき」 という意味です。 続いて 「共通接線が３本存在することを示し、それらの傾きとｙ切片を求めよ。」 とあります。 つまり、今求めたｋの値の時に共通接線が３本あって、そのうちの１本がａ＝２かつ求めたｂであるということです。 ということは、ｋはこれ以上いじらなくて良くて、ａとｂはあと２組求める必要があるのです。 という事で、今度は求めたｋの値を元の式に代入して、ａとｂの値を探していく作業に移ります。 この辺りがややこしてくて、少し混乱するかもしれませんが、東大入試にしては簡単でしょう。 もし「共通接線を全て求めよ」だと、難易度が上がるのですが、今回は３本と言われてますから、悩みません。

逆関数の扱い

気付かないと解けないわけではないですが、補足説明として逆関数に触れましょう。 冒頭に与えられた２つの放物線が、逆関数になってますよね。 だから、ａ＝‐１は、ｋやｂに関係なく、常に解になっています。 あと、最後に求めたａの値も、２と１／２ですから、これもｙ＝ｘに関して対称になってますね。 この辺りに注目できると、計算ミスも防げそうです。 では、最後に手書きの解答をご覧くださいませ。