2017年 東大理系数学 第6問(立体・体積・積分・三角関数)

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2017年 東大理系数学 第6問

さあ、東大お得意の立体図形の求積!

これは難しいですよね。問題文の意味を読み取るのは、読み取れたとしても立体のイメージが掴めない。

一体、どんな形をしているやら・・・。

とは言っても、(1)はそれほど難しい問題ではありませんね。Pの座標を(x、y、z)でおいて、立式すれば解けます。簡単な軌跡の問題です。

回転軸に垂直に切断せよ

問題は(2)ですよ。
正三角形が頭の中でグルグルしてるだけで、手に付かなかった人もいると思います。

ポイントとしては、回転体の問題だと気付けるかどうかですね。
具体的に言うと、(1)の答えは、z=1/2という平面上を動く円になりました。xy平面の、少し上空に浮かんでいる円盤というイメージ。
そして、(2)で求めのは、その円と原点を結んで出来る円錐(アイスクリームのコーン)を、x軸中心にグルット回転させた図形です。

この、x軸について回転した、という所が大きなポイントです!!
立体の問題は、切断しろ!というのは、ひたすら聞いた事があるポイントかと思いますが、難しい問題になると、切断の仕方が分からなくて終わってしまう問題もあります。

その時に、一つ注目すべきポイントが、回転軸です。
今回はx軸について回転しているので、x軸を含む平面で切断すれば良いのです。(x-y平面でも、xーz平面でも構いません。)
すると、回転させる前の図形が出てきますから、この面積を求めて、インテグラルに放り込めば、あとは計算するだけ、となります。

という事で、手書きの解答をどうぞ!

(1)で、x座標の範囲とか、θの範囲とか、普段立体図形で聞かれないような事を聞かれてるので、「??なんか、怪しいな」と思って考えるるのも、有効だと思いますね。

という事で、今年の東大入試の解説コーナーは、これで終わりです。

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